CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES
des puissances paires de q^ et se trouve ainsi réel; ou encore
iir
e • S| ^, qui diffère àe du par un facteur positif (SgC). Quand r varie entre zéro et ^, u varie de zéro à (1)2, du part de zéro en res-
iri
tant positif, et de même e ^ ^\V\ pour i; = i, la dérivée est nulle, un maximum ou un minimum est atteint. Prenons la dérivée seconde en posant, comme dans les formules (C), q = is/q'^, et égalons-la à zéro. Mettons alors x au lieu de y', et nous avons l'équation
nfn -»- «I
(71) I — 90?— 25a:3-h 49^*^-^Siiri'*-4-.. .-+-('2/1 -Hi)'(— a:) * . . . = o.
Cette équation a une et une seule racine x^ comprise entre zéro et Tunité, ce qui sera prouvé en toute rigueur au Chapitre XJII, et la forme (72) permet de la calculer avec six décimales exactes au moyen des quatre premiers termes seulement; on trouve
(jS) a: = 0,107653
Ayant d'ailleurs
ni
nous voyons que cette quantité est négative quand q' est moindre que a:, positive dans le cas opposé. Dans le premier cas, la con-
clusion est la même que pour q réel: -j-^ log2?|(^ parvient, en
croissant toujours, à sa valeur finale qui est négative; cette quan-
tité est donc toujours négative; irr— décroît, et, sa dernière valeur
Kl étant zéro, cette fonction est positive. Donc e * S| t^ croît constamment. Mais, dans le second xas, quand q' surpasse a:, les fails
sont très différents: -7-^ log2r,i; croît, comme précédemment, depuis — 00 ; sa valeur finale étant positive, 'cetle fonction passe par zéro pour une certaine valeur de v\ soit ç'i cet argument. Alors -^^7—
décroît de i' = o à ç' = P| , puis croît de i^ = i^i à (^ = ^. Comme la valeur finale de celte fonction est zéro, la valeur initiale -h 00 ,
cT— passe par zéro pour une valeur de p = v^ inférieure à i^|. Donc
a8& PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
enfin e ' 3| ç' croît de ç = o à p = Pa? puis décroît de i^ = ^^2 à
»ir
p = ^. La fonction e * STjç^ suit la marche opposée.
Nous ne devons pas envisager les fonctions STs^et ^o^t qui sont imaginaires conjuguées, mais Jeur somme et leur différence. Or il suffit de jeter un coup d'œil sur les expressions de ces fonctions pour constater Texactitude des deux relations suivantes, qui jouent un rôle dans la théorie de la transformation :
Ayant ici remplacé g par i^q' et observant que 3j(r, q) contient le facteur ^q^ nous concluons
Comme q'^ est réel, la marche des fonctions nous est connue : la première décroît constamment de ç^ = o à p = j, puis croît de ç;=iàç' = ^; la seconde décroît constamment de ç' := o à «^ = j.
Dégénérescence des fonctions elliptiques.
Les formules qui viennent d'être développées fournissent très facilement les expressions limites des fonctions et des invariants quand le discriminant tend vers zéro. C'est ce qui a été annoncé à la fin du Chapitre II.
On obtient les cas de dégénérescence en supposant infinie une des périodes; c'est alors que les fonctions elliptiques se changent en fonctions circulaires ou exponentielles. La dégénérescence est plus complète encore si les deux périodes deviennent toutes deux
infinies; c'est alors que pu se réduit simplement à -- (p. 28).
Examinons d'abord le premier mode de dégénérescence. Il n'y a plus lieu de distinguer ici plusieurs cas suivant les signes des invariants, et nous pouvons même envisager le cas le plus général, celui où les invariants sont imaginaires.
