CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES St

Le premier mode de dégénérescence répond à l'hypothèse q = o. Relativement aux périodes, ceci suppose que^ €> et w' étant les

demi-périodes choisies pour composer q^ la partie réelle de -^ soit

infiniment grande. Mais, pour avoir effectivement le premier mode de dégénérescence, non le second, on doit ajouter que G) est une quantité finie (différente de zéro).

Prenons les deux groupes de formules (38 A) et (.19 A), en v remplaçant Wi par â) et ^1, ej, e^ par ex, ^j^, ^v, comme il a été expliqué pour le Tableau (52). Employons aussi la formule (70), qui donne l'expression de l'invariant g2> Nous aurons immédiatement les résultats suivants, où, pour simplifier, nous mettons r,, (0, au lieu de Yj, €> :

en, — ev, c>. — Cm = ei — ey = - — = — , A — o,

c'jjL w = ^yU = e^

ÎU)/

Le second mode de dégénérescence suppose les deux périodes infiniment grandes; leur rapport peut être quelconque. On ne doit pas toutefois supposer infiniment petite la partie réelle du

rapport -rzr'

Si cette partie réelle est infiniment grande, on déduit immédiatement les résultats ci-après des dernières formules (75), en y supposant (o infini. Si, au contraire, elle a une valeur finie, alors q n'est pas nul. Mais, dans les formules (09 A), on voit dispa- L 19

(p. 83), en désignant par 8 une racine cubique de l'unité

on a d'abord

',= ia>j/3, wi=*— 6a>j, a)j = — 6*0)2.

Les relations d'homogénéité, en ce cas particulier, donnent, sans changement des invariants (^2 étant nul),

T),(03= 871,(1),, r^3Wi= 0«Ti,a),,

— =Tl,a>3— Ti3(i), = (6 — e*)T,,a),= iV3tQi««>,;

donc

3" r^^J) = — — r avec q =. ie *

Il faut remarquer enGn, avec cette dernière valeur de q, la formule analogue à (63), donnant la période 102. Nous avons ici

^e,— 63 = v^e**, v^e,— ei = v^pe **

yJet—ei-\-\/et - ^i = 2 v^pcos;^*

Ici p désigne la longueur e^ e^ {Jig- 5, p. 276), côté du triangle Cx e-iC^y équilaléral en ce cas particulier. On a donc, pour la hauteur de ce triangle, l'expression

et par conséquent (58 C)

Aos __ f -+- 27'»-!- 2<7'*M-. . .

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