CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES âr. a
Manière dont varient les fonctions ^ d'arguments réels.
Nous supposerons l'un ou l'autre des deux cas qui correspondent aux invariants réels ; ainsi q sera réel ou purement imaginaire.
Premier cas : q réel, — Envisageons les égalités
du*
logO'M = — pUy
Faisons croître u depuis zéro jusqu'à W| ; pu décroît constamment de 4- 00 à e, ; par conséquent, chacune des quatre dérivées secondes envisagées ici varie constamment dans un même sens, à
savoir -^-j logrfw et -t-^ log^2<^9 l^i première comme — pu, la seconde comme — » c'est-à-dire en croissant; les deux autres comme
pu
f c'est-à-dire en décroissant. Prenons maintenant Téffalité
pu ^
suivante, déduite de (5g A),
oii, bien entendu, l'indice zéro pour rf doit être supprimé, et l'indice 4> pour S, remplacé par zéro. Concluons que, (^croissant de
zéro à ^, ^ log3| i', -T-j log&at' croissent constamment, et les
deux autres décroissent. D'ailleurs
La dérivée 3', v^ dont le développement ne contient que des cosinus de multiples impairs de izv, est nulle pour ^ = ^; en même temps
a8S PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
enfin e ^ ^^ v croît de (^ = o à i^ = «^2? piiîs décroît de i^ = ç^2 à
ilT
(; = i. La fonction e * STjÇ^ suit la marche opposée.
Nous ne devons pas envisager les fonctions ^^vei ^qV, qui sont imaginaires conjuguées, mais leur somme et leur différence. Or il suffît de jeter un coup d'œil sur les expressions de ces fonctions pour constater l'exactitude des deux relations suivantes, qui jouent un rôle dans la théorie de la transformation :
Ayant ici remplacé q par i^q' et observant que 2r,(i', q) contient le facteur ^q^ nous concluons
Comme q'^ est réel, la marche des fonctions nous est connue : la première décroît constamment de (^ = o à (^ = {, puis croît de i? z= ^ k V = ^', la seconde décroît constamment de (^ = o à v = -^.
Dégénérescence des fonctions elliptiques.
Les formules qui viennent d'être développées fournissent très facilement les expressions limites des fonctions et des invariants quand le discriminant tend vers zéro. C'est ce qui a été annoncé à la fîn du Chapitre IL
On obtient les cas de dégénérescence en supposant infinie une des périodes; c'est alors que les fonctions elliptiques se changent en fonctions circulaires ou exponentielles. La dégénérescence est plus complète encore si les deux périodes deviennent toutes deux
infinies; c'est alors que pu se réduit simplement à -- (p. 28).
Examinons d'abord le premier mode de dégénérescence. Il n'y a plus lieu de distinguer ici plusieurs cas suivant les signes des invariants, et nous pouvons même envisager le cas le plus général, celui où les invariants sont imaginaires.
