CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

Le premier mode de dégénérescence répond à Thypothèse q -=0, Relativement aux périodes, ceci suppose que, ô) et â>' étant les

demi-périodes choisies pour composer q^ la partie réelle de -r^ soit

infiniment grande. Mais, pour avoir effectivement le premier mode de dégénérescence, non le second, on doit ajouter que ô) est une quantité finie (différente de zéro).

Prenons les deux groupes de formules (58 A) et (09 A), en y remplaçant coj par â> et e,, ej, e^ par ex, c^^ ey, comme il a été expliqué pour le Tableau (62). Employons aussi la formule (70), qui donne l'expression de l'invariant ^2* Nous aurons immédiatement les résultats suivants, où, pour simplifier, nous mettons r,, (0, au lieu de y,, ô) :

r,to = — , e» = ev, ex— eu.= e\— ^v = — = \ — ) > A — o,

u^e^^*^' — sin — >

crxw = e«^'-^^ COS — ,

1 1tw\ |1

C*,! U = ^yj II = e**

Le second mode de dégénérescence suppose les deux périodes infiniment grandes; leur rapport peut élre quelconque. On ne doit pas toutefois supposer infiniment petite la partie réelle du

rapport ^^•

Si cette partie réelle est infiniment grande, on déduit immédiatement les résultats ci-après des dernières formules (76), en y supposant o) infini. Si, au contraire, elle a une valeur finie, alors q n'est pas nul. Mais, dans les formules (09 A), on voit dispa- L 19

raître les séries 2r, parce que l'argument v s'y réduit à zéro

(76) j ei = ei= €3=0, ^î=o, ^3=0,

Nous avons omis, dans ces formules (76) et (76), les fonctions ^u etpe/, comme se déduisant immédiatement de <iu. Il faut faire attention que w, dans ces formules, est supposé représenter une quantitéy?/?/e.