CHAPITRE X. — SÉRIES HTPERGÉOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

et toutes celles qu'on en déduit par Téchange des indices, ce qui donne six formes différentes. Telles sont les conséquences de la seconde proposition.

La première proposition fait connaître la solution

L Clj — tl| 'T — t*3j

déduite de celle qui précède. De cette dernière, on conclut encore par la même proposition (en y changeant l'indice) cette autre solution

Quant au changement du signe pour le troisième argument, on voit, par les formules (3) ou (6), que ce changement correspond à l'échange de a, p, qui ne modifie pas la série.

Les diverses solutions qu'on obtient de la sorte se résument comme il suit : si l'on pose

(lo) X = -(^ — «1 )* ^'^ (^ — «2)* '^* (-2? — as)* ''' h

les diverses formes de z sont

(II) z = ( M ( 1) \±qi, ±r/i,ztq2]

avec celles qui s'en déduisent par la permutation des indices. Le changement du signe, pour le troisième argument, ne modifie pas la série. On a donc, en tout, vingt-quatre formes différentes pour :;, et autant pour y.

Chacune fournit une solution de l'équation (i), linéaire et du second ordre. Entre trois quelconques d'entre elles il existe donc une relation linéaire et homogène à coefficients indépendants dex. Nous ne nous occuperons pas ici de trouver ces relations, qui constituent l'une des plus belles découvertes de Gauss : dans l'application que nous allons faire, ces relations seront tirées de la nature même du sujet. Il nous suffira de reconnaître comment les vingt-quatre séries, difTérentes par la forme, constituent, en fait, six fonctions différentes seulement, dont chacune se trouve déve-

loppée de quatre manières diverses. Pour ce but, il nous faut d'abord examiner les conditions de convergence de ces séries.

Dans la série (5), le rapport d'un terme au précédent converge vers x^ quand le rang de ce terme croît au delà de toute limite. Cette série converge donc sous la condition, nécessaire à la fois et suffisante, que la valeur absolue (module) de x soit inférieure à l'unité. Dans les séries considérées ensuite, la variable x est remplacée par ^ ou les analo^rues. C'est cette dernière

*^ * rtj — «1 X — a-i ^

dont la valeur absolue doit être inférieure à l'unité pour la convergence. Si X, at, ^2, (73, quantités complexes quelconques, sont représentées sur le plan par des points de même nom, la valeur

absolue de — ^ est le rapport des lonerueurs -^— ^ — ^»

Le lieu des points x^ pour lesquels ce rapport est l'unité, se compose du cercle C2, décrit sur le segment diamétral que les deux bissectrices de l'angle aia2a3 interceptent sur la droite e/^as. Suivant la disposition de la figure, le point a^ est intérieur ou extérieur à ce cercle, le point a^ est dans la région opposée. La valeur absolue du rapport est inférieure à l'unité et la série converge, quand le point X est, par rapport à ce cercle, dans la même région que le point ^|.

Il y a trois cercles analogues C|, C2, C3, ayant respectivement

leurs centres sur 02(1^^ cl^cl^^ a^a^ et passant respectivement par a«, ^2, «3. Chacun d'eux partage le plan en deux régions, l'intérieur et l'extérieur du cercle. On distingue ainsi des régions, au nombre de six, et pour chacune d'elles quatre séries qui convergent dans toute son étendue. Par exemple, les quatre séries

convergent dans toute l'étendue de la région limitée par le cercle C2, et dans laquelle se trouve ^« ; et les quatre autres

dans la région complémentaire, limitée par C2< mais 011 se trouve