CHAPITRE X. — SÉRIES HTPERGÉOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

Pour obtenir le numérateur de la fraction ayant pour dénominateur X — A», il faut prendre dans u^K les deux fractions dont les dénominateurs sont (X — A|)(X — A2) et (X — A<)(X — As). La première fournit le résidu

-{i — Çi — Çi-^Çi) la seconde

wî

^v- Ti j^ • ^-/Ai-Aî'

Dans ^^Q les deux fractions dont les dénominateurs sont aussi (X — A|)(X — A2) et (X — A|)(X — A3) donnent les résidus correspondants

2^ ^' ^^ ^''^Ai-As La somme de ces derniers, moins celle des premiers, fait

= — -(i — ^1— ^i-^^s)»'"i— -(« — <7i-^^3— <73)a'wi= — 'ca'(» — <7i)"i-

En y ajoutant le numérateur Ta'(i — qi)ut de la fraction à dénominateur (X — A«), qui existe déjà dans w^Q, on trouve ainsi zéro. Toutes les fractions disparaissent donc dans w^Q — w^R. De plus, la partie entière disparaît aussi, d'après le calcul qui précède. Donc w*Q = w^R, ce qui achève la démonstration.

Série hypergéométrique.

De ces deux propriétés résultent de nombreuses conséquences. En premier lieu, supposons a^ = o, «2 = 1? ^^3 = 00 ; Téquation (i) se réduit à

/ dx

(i - yi ~ y»- y» )(' - yi— y» -^ y»^ ^ ^

Si l'on fail

(3) Y = i — ^1» ^ = {{i — qi — qi-gi)y ? = {(^-çi—çi-^çz),

l'équation s'écrit ainsi

C'est la forme employée par Gauss (* ). On vérifie par la substitution directe que cette équation admet la solution

i.2.../i.Y(Y-hi)...(Y-T-/i — I)

ar"

Nous dénoterons par [<7i, ^tj, «73; ^] celle série; ainsi a, 3, y étant liés à qr,, ^jtj, ^jr, par les relations (3), ou inversement

(6) <7,= i — Y» 7î=ï-~«-?> ^3=3 — 31, nous posons

Diverses solutions de Téquation hypergéométrique.

Si nous changeons de variables dans (2) en posant

on a précisémenl X= A|, As, A3, en correspondance avec

X = Of I, oc.

La transformée a donc ly forme générale ci-dessus. Donc l'équation générale (1) a, pour solution particulière,

o\ / V- -(1— '/i— vt-vs) r ^2 — C13 X — «il

(') Cari Friedrich Gauss WerKe, t. III, p. laS, 197, Q07.