CHAPITRE X. — SÉRIES HTPBRGÉOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

Développement des périodes en fonction de Finyariant absolu.

Discriminant positif.

La lettre x désignant A^'o) et o) étant une période^ nous avons obtenu (IX, 54) pour x l'équation hypergéométrique

Elle est dans la forme même de Gauss ; la correspondance des quantités a et des nombres q est la suivante :

a : o, I, oc , q : }, i» o.

Elle offre la particularité signalée tout à l'heure, que l'un des nombres q est nul.

L'ordre des indices (i, 2, 3) et l'ordre (i, 3, 2) donnent les mêmes intégrales, développées suivant les puissances de J ou de

J-— — • L'ordre (2, i, 3) et l'ordre (2, 3, 1) donnent les développements suivant les puissances de I — Jet de — =—• L'ordre (3, 2, i)et l'ordre (3, 1,2) donnent les développements suivant les puissances

de 7 et de -. •

Supposons le discriminant A positif. D'après la relation

'^lg%

on voit que J est supérieur à Tunité. Les développements suivant

les puissances de — = — et suivant les puissances de -j convergent

donc.

Envisageons d'abord les premiers.

L'ordre étant ici (2, 3, i), les deux intégrales particulières sont

„.r i,,.,'-.]ri(ir--')'.

34a PRBVIÈRR PARTIE. — THÉORIE.

La solution la plus générale est, avec deux constantes arbitraires,

X "=■ axi-r- hx\.

A cause des relations

{i4) a)=:rA'"^ A = ^|J-i,

nous aurons, pour une demi-période quelconque co, la forme

(15) Mg,^ = « [î- «' 5î -i-\ + * [- 5' »' \' -j- ] iA?'

et il s'agit de trouver les nombres a, 6. A cet effet, supposons, pour fixer les idées, ^3 positif, et envisageons, pour w, la demi-période réelle.

Si J devient égal à l'unité, nous avons déjà trouvé (II, p. 64)

De là résulte le coefficient a de l'équation (i5) {17) a = A /ï.

La dérivée de a:, par rapport à J, est infinie pour J = 1 , comme celle de x-i^ mais on a

lim y/J — I -j=- =\h.

D'après les égalités (IX; 53, 52,49), c^^^c dernière relation se change successivement comme il suit:

--iô = lim7/r=r7=lim-i J~V = ï'm--Vj *^^^ " (J = O,

imUl i2)=^/3.

Joignons à cette égalité la précédente

liml(oA**>' = a J=i

pour conclure

lim(r,a)) = — ab ^'i.