B= -TT

(les quatre derniers chiffres sont dus à Gauss). On a, par là,

Les valeurs numériques (17) et (20) de a, b étant substituées dans (i5), cette formule nous donne la demi-période réelle to. Le changement de ^3 en — ^3, c'est-à-dire le changement du signe

de y/J — I , donne, par la même formule, la demi-période purement imaginaire w', divisée par i. Voici donc le résultat:

Si nous convenons maintenant de prendre i/—, — positif, les grandeurs respectives de co et — nous enseignent que le signe -+-

fil'

convient à w ou à -r suivant que gz est négatif ou positif. A et B

sont les constantes numériques (16)61(19), calculées par Stirling. Les deux crochets représentent les séries h^pergéomé triques sui-

vantes :

[I 1 J — il „/ 1 I I J — 1\

L 2 3jJ \iai2 2 J/

1 t lY J — J 2.7». 19* /J — I\*

Considérons mainlenanl les développements suivant les puissances ascendantes de j* L'ordre des indices est 3, 2, i, en sorte

que le premier élément est nul. Les deux intégrales particulières sont, Tune finie, l'autre infinie comme logJ, quand J devient infini. Or on a vu, au Chapitre II, que, le discriminant positif tendant vers zéro, Tune des deux quantités \gi^, \ g% — reste finie,

suivant le signe de ^3, et que l'autre est infinie. Celle qui reste finie est donc proportionnelle à l'intégrale particulière qui, elle aussi, reste finie. Nous connaissons d'ailleurs (H, p. 67) sa limite, et nous en pouvons conclure

^3 > o, yjgx