CHAPITRE X. — SÉRIES HTPERGÉOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

Au cas gi •< o, g2^ Oj OD cloit seulement échanger, dans (28),

(02 et ~ •

La même observation s'applique aux formules suivantes :

A < o, ^j > o, ^t< o, (-J) ^'V^"'.=^A[i,3l.o;.-j]-.^[-A,',o;,-j]v/nrj,

•î/II-4.=.A[l.l.o;.-j]^^.[-i.-;.o;.-j]v/r:^J. 011 A et B sont les mêmes que dans (21).

Développement de K et K'.

Prenons la définition de K par une intégrale défînie(II, p. 62),

et développons, suivant les puissances ascendantes de A*^, la fonction à intégrer :

y/i — k* sin*©

Intégrons ensuite chaque terme du développement suivant la formule

Jf sin''»o </© = -

Nous aurons ainsi, pour K, une série hypergéométrique

t: „ , , I ..V TT

On aura de même

Il s'introduit ici la série

/i = ae

IH h - -f-.. .H

] \ ïi 17. n — 11/

et Ton obtient les formules

Il nous reste enfin à examiner les formules propres au cas où ^2 est négatif. L'invariant J est maintenant positif, inférieur à Tunilé, et l'on peut employer les développements suivant les puissances ascendantes de J ou de(i — J).

L'analjse est absolument la même que dans les cas précédents, et il sufBra de réunir ici les résultats :

^ *V^^^W2 = cU, i, o; J H- — ^:- — I, 1, o; J v^J, (98) l y/3 L3 '^ J 4v/3c L 3 -2 J ^ '

|i.yrii = /î4l,l.<,;i]-^^ [-1,1,0.,] y,.

Le coefficient c est ici le même que dans les formules (26).