I ...s TT

K'=-fF(i, ;, i,A:'») = ^[o, o, o;A:'«l.

35o PREMIÈRB PARTIE. — THÉORIE.

A cause de la relation A''^= i — k^^ et des propriétés de l'équation hypergéomélrique, on voit par là que K, K', et par suite i¥J et toutes les périodes sont des solutions de l'équation différentielle suivante, où Ton a mis x au lieu de k^^

(3o) X(l->C)^-+-(I-2>C)^-Ij = 0.

Nous rencontrons là une des propriétés les plus curieuses de ces équations hypergéométriques particulières. En vertu des relations qui lient les invariants au module et co à K, Téquation (3o) est nécessairement une transformée de celle que nous avons formée précédemment.

La relation entre les invariants et le module (p. 60) peut s'écrire ainsi

(^'^ i = J^ri = \ '

et le multiplicateur \ a pour expression

Il en résulte

K^ /T -^/ïii/i .-4r(H-x)(2— x)(i— 2x)")» . /rs/-. , .J.

et voici la conséquence finale, digne d'attention à tous égards.

Si, dans l'équation (3o)y on fait un changement de variables, en prenant pour nouvelle variable indépendante J, liée à x par (3i), et pour nouvelle inconnue z liée à y pai* la relation

on obtient pour transformée