A DOUBLE INDICE

Décomposition de p (nu) en fractioDS simples par rapport -à pu. — Série qui se déduit de la formule de décomposition de p{nu) en fractions simples. — Séries à double indice. — Convergence de la série qui se déduit de la décomposition de p{nu) en fractions simples. — Développement de pu en série à double indice.— Observations sur le développement de pu. Double périodicité. — Développement de p'Uf de p" u^ etc., en séries à double indice. — Développement de X^u en série à double indice.. — Développement de o'u en produit à double indice. — Transformation de <r{u-k-a). — Nouvelle défînition des fonctions elliptiques. — Nouvelle démonstration pour la décomposition des fonctions doublement périodiques en éléments simples. — Équivalence des périodes. — Expression de r, i/, a', i/, <r^u en produits à double indice.

Décomposition de p{nu) en fractions simples

par rapport èk pu.

La théorie de la multiplication de l'argument a introduit une fonction ^«(w), caractérisée par ce fait qu'elle a pour racines les ^urnct parties de périodes. Considérons cette fonction spécialement dans le cas où n est un nombre impair. C'est alors un polynôme entier par rapport k pu, du degré ^(/i^ — i). Le coefficient du terme du plus haut degré est n. En désignant par w diverses périodes, on pourra écrire ^/i(w) sous la forme

^„(«)=«jj(p«-p^)

qui met les racines en évidence. Il faut seulement préciser les quantités tv, dont le nombre est j(/i2 — i), et dont la forme générale est

w r= innù -h am'to'.