CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

Les entiers m et m' sont quelconques ; ils ne doivent seulement pas être nuls tous deux à la fois, et il faut les choisir de telle sorte

quep — acquière successivement toutes les valeurs, au nombre de

|(/i2 — i), que cette expression est susceptible de représenter. Ce choix peut être fait de diverses manières ; arrêtons-nous au choix suivant :

1** Avec m = o, prenons m' = i , 2, 3, . . . , ;

2** Prenons ensuite, pour m, l'un des nombres i , 2, 3, . . . , — ^ — , et, en même temps, pour m', l'un quelconque des nombres

Cette manière de choisir w présente un avantage qui sera, un peu plus loin, utile à une démonstration : le nombre n devant être

pris de plus en plus grand, les diverses quantités —, ainsi choisies,

resteront dans des limites faciles à assigner , elles auront la forme più -+-/?' to', où \cs fractions p et p' seront comprises, la première entre zéro et + i , la seconde entre — i et -h i .

On a vu, au Chapitre IV, que p{nu) s'exprime en fonction de pUj par une fraction rationnelle dont le dénominateur est ^fi{u)^ et dont le numérateur est d'un degré supérieur d'une unité à celui du dénominateur (p. 100).

Cette fraction, décomposée en fractions simples éprend la forme

p(nu) = p-f- oLpu

et nous allons y déterminer les coefficients.

En supposant d'abord u infiniment petit, et développant les deux membres suivant les puissances ascendantes de u (IV, 4)? on trouve

Posant ensuite u = h^ et développant suivant les puissances

336 PRBMlfcRE PARTIE. — THÉORIE.

ascendantes de r, on détermine A et A' par le calcul suivant

p(nu) = p{w -+- nv) = p(n{f) =

Ai '^ n i

w ,wç

pu — » — p —

La formule de décomposition est donc la suivante :

p{nu)= -

JL JL V I /t ^ 71 I

Série qui se déduit de la formule de décomposition de p{nu)

en fractions simples.

Dans la dernière formule, changeons w en -> et nous aurons

Examinons maintenant ce que cette formule devient si, ii restant fixe, n croît au delà de toute limite.

Pour le premier terme, sa limite est ~; car - tend vers zéro et

( ) P " ^'^^s 1 unité.

Dans un quelconque des autres termes, en y considérant w comme