CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE. SÔQ

pend pas de Tordre des termes. Voici comment on reconnaît leur existence.

Soit tm,n un terme général dépendant de deux indices m, /i, recevant chacun une infinité de valeurs. Rangeons les quantités tm^n à la suite les unes des autres, suivant une loi arbitraire, qui cependant n'en fasse omettre aucune. Nous formons ainsi une série ordinaire. Si cette dernière est absolument convergente, sa somme reste inaltérée quand on intervertit arbitrairement l'ordre des termes. La somme des quantités tnijnt arbitrairement rangées à la suite les unes des autres, a donc une limite bien déterminée, indépendante de Tordre. C'est, par définition, la somme de la série S^m,/ij qni est alors absolument convergente.

D'après cette définition, il est clair que la seconde proposition, relative aux séries ordinaires, a lieu aussi pour les séries à double indice : si s^^n est le terme général d'une série S, et que s„t^n ait pour expression asymptotique //»,«> terme général d'une série absolument convergente, la série S est elle-même absolument convergente. On dit que Sm,n a pour expression asymptotique tm^n-i si le rapport Sm,n * tm,n tend vers l'unité quand m et /i dépassent toute limite, chacun suivant une loi quelconque, et aussi quand l'un seulement des deux indices devient infini.

Nous allons donner un exemple, celui qui est fondamental pour les fonctions elliptiques.

Soient a, b deux quantités imaginaires quelconques

a = ai -i- la,, 6 = 61 -h ibi,

et ^ un nombre réel. La série que nous envisageons a pour terme général

i^ma -\- nb)?

et les indices m, /i doivent acquérir toutes les valeurs entières et positives, dont on exceptera toutefois les valeurs simultanées m == /i = o. Cherchons la condition pour que cette série soit absolument convergente.

Prenons d'abord les termes où Tindice m est un nombre fixe M, et où Tindice n ne surpasse pas (M — 1)5 ce sont ainsi les termes ^M.o) Vh •••? ^M.M-1* Figurons, sur le plan, la quantité complexe

PREXIÈRK PARTIE. — THÉORIE.

(Ma H- nb). Elle se construit ainsi (Jig- 6). A partir de l'origine on porte la droite o A représentant Ma, c'est-à-dire que le point A a les coordonnées Mai et Maj; puis, à partir de A, on porte de même la droite AG représentant /i6, c'est-à-dire que le point C a, par rapport aux axes transportés en A, les coordonnées nb^ elnbi.

Fig. 6.

Prolongeons la droite AC jusqu'au point B, qui représente (Ma -h Mb); les différentes quantités (Ma 4- nb)^ n prenant successivement les valeurs o, i, 2, . . • , (M — 1), sont représentées par divers points C, tous contenus dans le segment AB.

Faisons, d'autre part, la même construction en portant, à partir de o, la droite a, aboutissant en un point a; puis, à partir de ce point, la droite 6, aboutissant en un point 6* Les triangles oAB et oab sont homothétiques ; le rapport d'homothétie est le nombre M. Les rayons oC sont égaux à M fois les rayons oc qui aboutissent au segment ab. Parmi ces derniers oc, il en est un minimum pi, et un maximum p2. De même, les rayons oC sont compris entre Mpi etMp2. Les deux longueurs pi, pa dépendent seulement de la disposition delà figure oa6, nullement du nombre M.

Les rayons oC sont égaux aux valeurs absolues de (Ma -{- nb). Ainsi les valeurs absolues de (MaH-/i6) sont comprises entre M Pi et Mp2; et, par conséquent, les valeurs absolues des termes

'm,o? 'm,iî

> 'm,ii-i sont comprises entre

(MpO^ (Mpi)P

somme des valeurs absolues de ces M termes est elle-même comprise entre

pP mP-'

et -T. -

pÇ M?-»