CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE. 35y

une quantité fixe, on a des fonctions toutes infiniment grandes, et les parties principales sont les suivantes :

Ces deux fractions donnent ensemble

w*(a* — w')' «'*(m* — w*) "~ (a-+- iv)* (m — w)* w*

On peut séparer cette somme en deux parties analogues

II 11 r et

(a-l-(v)* iP* {u — w)* w*

Ces quantités constituent deux termes de la série suivante

où ^ prend successivement toutes les valeurs

(3) w = ano) -h 2/i'w', , | = o, ± i, db 2, dz . . ., ih oo ,

n =: n'=o excepté.

Cette série /(u) apparaît ici comme composée des termes vers lesquels convergent les fractions simples de la formule (i). La conclusion que l'on doit naturellement chercher à établir, mais qui, actuellement, n'est en aucune façon prouvée, c'est que la série /(w), prolongée indéfiniment, est convergente et qu'elle converge vers pu.

Pour obtenir la limite d'un terme quelconque de la formule (1), nous avons considéré fv comme une quantité fixe, tandis que w doit acquérir toutes les valeurs 2/n<i) 4- a/w'w', choisies comme il a été expliqué dans le paragraphe précédent. Non seulement les limites supérieures de m et m' ne sont pas fixes, mais elles deviennent infinies avec /i, circonstance qui rend indispensable une démonstration rigoureuse.

La série (a) est d'une nature nouvelle, et Ton n'en a pas considéré d'analogues avant la théorie des fonctions elliptiques. Tandis que, dans les séries usuelles, les termes sont déterminés uniquement par leur rang, c'est-à-dire par un seul indice, ici chaque terme dépend de deux indices /i, n' . 11 nous faut d'abord examiner avec soin ces séries nouvelles, pour revenir ensuite à la série (2) et prouver alors qu'elle converge vers pu.

Séries à double indice (i).

Rappelons tout d'abord, sans les démontrer, trois propositions relatives aux séries ordinaires, à simple indice,

1° Soient T|, T2, • • •> T;,,, ... les valeurs absolues (modules) de /{ , /2) • • • î ^w) • • • • Si la série T» -t- T2 + . • • -{- T^* -+-..• converge, la série /« + ^2 -+" • • • -h ^m-f- • • • est dite absolument convergente. Elle a celte propriété que sa somme n'est pas altérée si l'on intervertit arbitrairement Tordre de ses termes, c'est-à-dire si l'on range les termes suivant une loi quelconque qui n'en fasse omettre aucun.

2** Si s„i est le terme général d'une série S et que Sm ait pour expression asympto tique tm, terme général d'une série absolument convergente, la série S est elle-même absolument convergente.

On dit que Sm a pour expression asymptotique /^j si le rapport Sm • tni tend vers l'unité quand m croît au delà de toute limite.

3" La série i -| — = + ^ -H • • • H r 4- • • • , dans laquelle l'ex-

posant a est réel, est absolument convergente si a surpasse l'unité. Elle diverge, au contraire, si a est égal ou inférieur à l'unité.

Nous allons maintenant considérer les séries à double indice, et l'on doit être averti que nous envisagerons seulement celles qui sont absolument convergentes, c'est-à-dire dont la somme ne dé-

(*) Cette théorie est principalement duc à Eisenstcin ; le mode d'exposition employé ici est emprunté au Cours d'Analyse de l'École Polytechniquej par M. Camille Jordan (t. I, Chap. III, p. 161).