CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

Cronvergence de la série qui se déduit de la décomposition

de p(nu) en fractions simples.

Examinons, au point de vue de la convergence, la série /(a) (2), dont le terme général a pour expression

(a/io) H- a/i'to' — a)* ( -2 n w -h 2 n' tu' )'

Les deux indices n et n' y doivent acquérir toutes les valeurs entières positives ou négatives, à Texception de n = /i'= o.

Envisageant les fonctions elliptiques les plus générales, nous avons été conduits (Chap. VIII, Fonctions elliptiques à invariants imaginaires) à considérer to et to' comme deux quantités quelconques dont le rapport est imaginaire. C'est exactement la supposition que nous venons, à Tinstant, d'être contraints de faire pour les quantités a, b dans la dernière série.

Construisons, ainsi que nous Tavons fait avec a, 6, un parallélogramme dont les sommets o, a, 6, a' représentent les points zéro, 2to, 2(to -{- to'), 2to', et menons deux séries de droites équidistantes, dans chaque série, parallèles respectivement aux côtés de ce parallélogramme {Jig- 7). Le plan se trouve ainsi partagé

Fig. 7.

en un réseau de parallélogrammes égaux, dont les sommets représentent les quantités (2/110 -j- 2/1' <o').

La quantité u est, elle aussi, représentée par un point du plan;

le rapport ;— 7 a pour valeur absolue le rapport des dis-