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tances de Tongine à ce point et à un sommet du réseau ; il tend vers zéro si ce sommet s'éloigne à Tinfini, c'est-à-dire si l'un, au moins, des nombres /i, n' croît et dépasse toute limite, en valeur absolue.

Ecrivant s sous la forme suivante

lui \— 7—7— f )

(2na)-+-2/i w )'( I r—, )

nous reconnaissons que ce terme a pour expression asymptotique

'. 7—77; > c'est-à-dire, au facteur constant près, 2 a et, sauf

changement des lettres, le terme général de la série (5). Le rapport <o:to', qui remplace a\b, est imaginaire ; l'exposant ^ est égal à 3. La série est donc absolument convergente. Donc, suivant une proposition générale rappelée précédemment, la série /(u) est absolument convergente.

Développement de pit en série à double indice.

11 reste à prouver que la somme de la série /(a) est égale k pu. Cette démonstration peut maintenant se faire avec facilité, par les moyens usités en pareil cas. Considérons deux nombres positifs arbitraires M, M', et distinguons dans le second membre de la formule (1) deux parties : la première, composée des termes dans lesquels les deux indices m, m', composant w, sont, en valeur absolue, moindres que M et M' respectivement; la seconde, composée des autres termes. Cette décomposition peut se faire, si grands qu'on ait choisi M et M'; il suffit qu'on suppose n supérieur à 2M -}- i, aM'-f- I, et croissant à l'infini, à partir de cette limite inférieure. Dans la première partie, les diverses valeurs de (v sont indépendantes de n\ par conséquent, les termes correspondants, dans la formule (i), tendent vers ceux de la série /(u). On peut donc prendre n assez grand pour que la somme de ces termes dans (i) et la somme des termes correspondants dans /(w) diffèrent moins que d'une quantité donnée. On peut, en même temps, prendre M et M' assez grands pour que la somme des autres termes, dans/(w),