CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE
Ainsi qu'on l'a déjà observé, v^pi^esi une quantité finie ; d'autre vers ±: i^ donc — ^4 a pour expression asymptotique
*l = ï ITTT-^^.Tli ^ = ^*P^'
Réunissant les termes, on peut écrire
ip* ( I
terme général d'une série absolument convergente, puisqu'il est
comparable à — • De là résulte que, n étant suffisamment grand,
on peut prendre Met M' tels que la somme des termes ^, soit, en valeur absolue, inférieure à toute quantité donnée.
Il reste maintenant à former, avec les limites des autres termes delà somme (n), une série convergente. Mais, pour que, dans cette série, on puisse, comme dans les précédentes, séparer les termes qui répondent à deux valeurs de iv, égales et de signes contraires, nous ajouterons, sous le signe sommatoire, dans (11), les
deux termes ^— et ^( j> qui se détruisent, et nous écrirons
(lia) çw=-î--+->,- î H-Ç ^ —iP— l;
les valeurs de w seront alors les mêmes que dans la formule (8 a). De là se conclut la série
OÙ fv a les mêmes valeurs que dans la formule (6). Le terme général de la série (12) est effectivement la limite du terme général dans la somme (11 a). Déplus, la série est absolument convergente;
car on a
u — W ' iV ' (V*
ni
terme comparable à - , •
La série (12), comme les précédentes, met en évidence les infinis de ^u; quant à la propriété relative à Faddition d^une période, on peut la reconnaître par le calcul suivant, analogue à celui qui a été fait déjà pour la série pUy mais un peu plus compliqué.
Désignant par (V| une période, nous écrirons d'abord, en exceptant de la sommation les valeurs (v ::= o et tv = — (V| ,
^ I I w I v^ r I u -\- Wi ï 1 ^ Il = j 1- ^ ^ I j î — ^ I
2r U u-\- wi I I 1
Nous passerons de là à la forme suivante :
w -h (Vi
Dans la première série S|, est exceptée la seule valeur iv= — i\\ ; dans les deux autres , sont exceptées les valeurs w = o et
iV = (ï', .
La série S2, qu'on a déjà rencontrée dans le calcul analogue pour piiy est nulle. La série S3 est une quantité indépendante de
f/, qu'on désignera par — 2t1, en y adjoignant le terme
Quant à la série S|, avec le terme qui la précède, elle représente ^{if -\- (V|), comme il résulte du changement de w en (^w — (V'i ). On a donc effectivement
