CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE
avec celte expression de 2 -ri
w = o, — iV| exceptés.
Développement de s'a en produit à double indice.
Dans la formule (i i a), prenons, de part et d'autre, les fonctions dont les deux membres sont les dérivées logarithmiques, en déterminant les constantes de telle sorte que le rapport de chacune de ces deux fonctions à la variable 11 ait Tunité pour limite, quand u devient nul. Nous aurons ainsi
(w — u\ j ti w m' tv
Les limites des termes de ce produit limité nous conduisent au produit inGni
(I4) Crw^ wJJ(^I~ |i.^6«'"^î»v«,
tv
OÙ W parcourt les mêmes valeurs que dans les séries (6) et (12). L'exactitude de cette formule (i4) sera établie si Ton prouve, comme on Ta fait précédemment pour les séries, que le produit des termes où, dans la formule (i3), ±m et ±: m' surpassent deux nombres donnés M et M', peut être rendu aussi voisin de l'unité qu'on voudra, par le choix de M et M'. Pour le montrer, réunissons les facteurs deux à deux, en groupant ensemble ceux qui répondent à deux valeurs de w^ égales et de signes contraires. Le produit ^3 de deux pareils facteurs, suivant la formule fondamentale (VI, 12), peut s'écrire
374 PREMIÈRE PARJlriE. — THÉORIE.
OU bien, en remplaçant encore — par v,
( n u\' / u^ u ti' ^ \ — »'«pt' \u n 1 \n^*^ n «•* *^ J
Mettant', au Heu de ^^p^, la lettre a, qui représente ici, on se le rappelle, une quantité finie, on voit que ^3 tend vers l'unité. Il existe donc une détermination du logarithme népérien de ^3 qui tend vers zéro ; choisissant ainsi le logarithme, on a
Cette quantité, quand n devient infini, a pour expression asymptotique
53 = log \—a —■ -f- a — - ,
qui est elle-même asymptotique à ^> terme général d'une
série absolument convergente. On peut donc choisir /i assez grand pour que la somme des logarithmes des termes ^3 diffère aussi
peu qu'on voudra de la somme des quantités — t-\ cette der-
nièrc, si Ton prend M et M' assez grands, est aussi petite qu'on veut. Donc la somme des logarithmes des termes ^3 peut être rendue moindre que toute quantité donnée et, par conséquent, le produit des facteurs t^ aussi voisin de l'unité qu'on voudra. La formule (i4) est donc complètement prouvée.
On peut remarquer que nous n'avons pas eu à démontrer la convergence du produit infini (i4)î die résulte de notre analyse. Elle est d'ailleurs évidente. La convergence d'un produit infini a lieu, par définition, en même temps que celle de la série des logarithmes de ses facteurs, les logarithmes étant pris comme tout à l'heure : le logarithme du facteur général, dans le produit (i4)» est
iog I ) H ! -;
il a pour expression asymptotique — 0 ~Ts ' terme général d'une série absolument convergente.
