CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES. Sgi

le produit de tous les facteurs analogues au second, d'après (2), est

•izu rz n'w'

tang ^

C itù 2 0) z=zBn'\

enfin le produit des facteurs analogues au troisième donne

t / -KH \ 1

1 [ iz n'W]

Nous avons ainsi (en mettant n au lieu de n')

o'jMe* * = I I A„B«C«,

/i = =fc I, db3, . . ., ih(2fA-H l) zhac.

Pour simplifier cette expression, examinons les facteurs C/,. En

posant

ITC —

nous avons

(5a) cos = -Vûrî -i-<7 ' /,

De là résulte que la série SlogC,, est convergente; car, un (acteur invariable étant omis, le ternie général s'écrit sous l'une ou l'autre des deux formes

Ces deux formes, Tune pour n positif, l'autre pour n négatif, mettent la convergence en évidence. Au surplus, deux termes, où les valeurs de n ne diffèrent que par le signe, étant égaux entre eux, il suffit de donner à n des valeurs positives, et d'adopter alors Tune ou l'autre des deux formes, suivant que la valeur absolue de q est inférieure ou supérieure à l'unité. C'est ici le lieu de convenir, comme on l'a déjà fait au Chapitre VIII, qu'on choisit w' et w

de telle sorte que -v- ait sa partie réelle positive ; par suite, la valeur absolue de q est inférieure à l'unité.

Nous avons donc

rSm-1

11 convient de réunîr cette série avec le terme e* ; posant donc

nous aurons

e-««*3',M=JjA;,B„.

On a manifestement B,, B„„ = i , d'où résulte que les facteurs B„ disparaissent par Je groupement des facteurs. Voici donc une première forme simple de développement :