CHAPITRE XII

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS (T ET Sr EN PRODUITS SIMPLES.

DéYcloppement de a', en produit simple. — Démonstration de l'égalité

TiU) — 7^ Cl) = •

Développements de ru, r^u, r^u en produits simples. — Expression des trois

quantités rtàte * * et de y/^, — e^ en produits. — Expression de ^u et de pu en séries simples. — Expression de t;u) et des racines e^ en séries simples. — Les séries Sr déduites des développements en produits.

Développement de cftu en produit simple.

Après avoir développé les fonctions d en produits à double indice, on est naturellement conduit à transformer ces produits par le groupement des facteurs. Le groupement le plus simple est celui de tous les facteurs où Tun des indices a une seule etipéme valeur. C'est celui que nous allons effectuer. On peut opérer sur l'une quelconque des quatre fonctions <^; nous choisirons 0*3 e/. Il faudra , pour ce calcul, se souvenir du développement de la fonction cosinus en produit infini. Ce développement est connu dans les éléments sous la forme

cos-J Tzx= I l/i jj; 71 = 1, 3, 5, ..., ajAH-i, ...,00.

11 est valable, quel que soitâ?, réel ou imaginaire. Nous l'écrirons un peu autrement :

/i=ifci, ±3, ...,±(afx-hi), ...,=hx.

L'exponentielle qui complète chaque facteur linéaire disparaît

SgO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

quand on réunit ensemble deux facteurs correspondant à deux valeurs de /î, égales et désignes opposés; par conséquent, la seconde formule découle de la première : elle offre l'avantage de contenir un produit absolument convergent, formé avec des facteurs linéaires.

En même temps que la formule (i), nous aurons à employer les deux suivantes, qui s'en déduisent par la diffère ntiation logarithmique :

\2 COS J ira:/ ^(n-hx)^'

n — ±ij ±S, . . ., d=(afx-t-i), . . ., =130.

Prenons le développement (XI, 3i) de (^«e/ en produit; supposons a =2, c'est-à-dire 0)01= co -h w', et nous pourrons écrire ainsi ce développement

e>''" a*, a =11 ( l jenco-hn'o)'"^! Kntù-^n'tù'J

J X V nto-f- n'tti'J

Voici la transformation que nous ferons subir au facteur général du produit (3). Nous l'écrirons

Laissant maintenant à n! une valeur constante, faisons le produit de tous les facteurs obtenus en faisant varier n. Nous avons partagé notre facteur général (4) en trois autres, séparés par des points. Le produit de tous les facteurs analogues au premier est, d'après la formule (1), égal à

COS -

An

COS