CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. /f

Ces deux formules, données ici comme exemple, sont parfaitement adaptées au cas où le discriminant est positif et u réel.

Développement des inverses des fonctions cr.

Les fonctions du Tableau (3o) contiennent deux arguments w, r. Si l'on y remplace r par un multiple ou un sous-multiple de w, chacune de ces fonctions ne contient plus qu'un seul argument, et elle se trouve développée de diverses manières suivant qu'on prend une des six formes des séries ci-dessus. Ces six formes, au fond, se ramènent à une seule, la forme en série à double indice.

Les plus intéressants de ces développements sont ceux qu'on obtient en supposant (^ = =b w ou r = dz ^w.

Nous étudierons d'abord quatre d'entre eux, se ramenant à un seul, le développement de la fonction

On l'obtient en supposant r= — \u dans l'une quelconque des quatre fonctions dénotées, au Tableau (3o), comme il suit (la première devra être changée de signe) ;

CL a\ ci-^ «2

UV UVi l/i's UVi

Pour qu'on se rende bien compte de la diversité des formes sous lesquelles un même développement peut apparaître, écrivons ici les séries que l'on obtient en supposant r = — \u dans les développements analogues à celui qui est dénoté (lo). Pour abréger, nous emploierons encore les notations (43), que nous rappelons :

MTc 71= 1,3,5, . . ., (a[ji — i), . . .,

lia m = 2, 4> o> • • • > 2 ;i, . . . , -h ».

D'abord le développement (lo) lui-même, en ayant égard à la

formule

cota — col - = : — >

2 sina

nous donne

20) e'"* __ I ^ ^ sin(/n — i)a — q"*s\nma

^^^ Tz <^ii ~" sina ^^ i — ay"* cosa-+- y*"*

Dans le même développement (lo), sî Ton échange d'abord a vl r, on obtient

' i: ^u sina .^d i — 2^'" cosaa -r 7*'"

I^es deux, développements analoî^ues de la fonction dénotée — -

donnent de même

^^ ^ '^ 7: <^u sina \^ ' 14- 2<7"*cosa H- 7*"*

Ceux (25) et fai)) de la fonction dénotée — donnent encore

, .^ r ,V^ .sin(/i — \)a — q'^smna

j. ,V^ /•- n; sin(i//i — 1)« — 7"* sin (i//i -4- Oa ( 4q ) / a = — 4 7 V 7 = --^ '• —

Enfin ceux de la fonction — ^> qui s'obtiennent en supposant i" := (0 — ]^ii dans (aj) et (29), donnent de même

,. , ^ ,V^ sin(n — i)rt -h «z" sin /la

(.0) /« — 42,r , + .,y,.cosa-,-g^« '

^-n /-— sin ( } m — i)a — g'"' sin (|iW-H i)ct

(H) /«= .{^(-o^^Vy

'« pn^o/T -X- ntni

Ces huit développements d'une même fonction se réduisent d'ailleurs bien simplement à deux seulement, dès qu'on y met en évidence la propriété