CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOXÉTRIQUES

Les deux séries (45) et (47) donnent ensemble la suivante :

- , V^ . sin^n — a)a — ûr*«sinna

' ^ ^^ I — 2^*'* cos2a -h 5r*«

que l'on obtient également en ajoutant membre à membre les égalités (48) et (5o). De même les deux séries (49) et (5i) donnent celle-ci

sin(/ii — \)a — 7*'" sin( ni -h \)a qm ^ i l 1 L

qui s'obtient aussi par l'addition des égalités (44) ^^ (4^)-

Pour avoir la série à double indice, qui seule est fondamentale, prenons, par exemple, la formule (a6), en y mettant t^= 3~*, ce qui correspond à v =z — ^u. Nous avons ainsi

et/), m désignent maintenant les nombres naturels i, 2, 3,

Mais celle série est susceptible de réduction si on l'envisage dans sa généralité: on peut vérifier aisément que les termes où les exposants de z sont pairs se détruisent deux à deux, comme l'exige la propriété (52). On doit donc donnera m seulement des valeurs paires, et reprenant la convention déjà admise ( n impair et m pair), on aura plus simplement

Envisageons les termes où l'exposant de z est un nombre impair positif N. Ceux qui proviennent de ^"~'" auront pour coefficient — S<7^'""^'"*. Ceux qui proviennent de z~"'^"^ auront, au contraire, pour coefficient -+- l^q^"'*'"\ En supposant donc

jj -— - i, 2, ôj 4^ •••> "^ ^1

et tenant compte de ce que le changement de z en - reproduit/t/, changée de signe, on pourra écrire

(53) },/u = -'j,'^(-i)Pq^P^P'(z^-z-y),

N = i, 3, 5, ..., 2|x-f-i, ..., -hx.

4a6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

On a donc, par diiTérenliation,

pu -h- =1 — ) • a ( - > ^— T- cos

w \2CD/ . .Tca Vco/ .^^ I — ^*« ta

^ sin* — ^ ^

P'm = — ( — ) 1-2( - ) > ^— - sin

sin' —

Ces développements sont valables sous la condition (i i)

On peut aussi écrire, au lieu de la formule (3i), celle-ci (33) ^ — = TTCOtait -h 4^ z — — T-sinanair.

Semblablement, de la formule (29), où l'on fait «/ = o, puis où Ton remplace ensuite la lettre ç par la lettre </, on tire

p'(a-i- (0 ) =-i-2( - > • — ^-T-sm

*^ ^ ' \a)/ ^ I — ^»« CD

Ces développements sont valables sous la condition

R(i^)<R(ii)<R(^) \ltD/ \*W/ \tw/

On peut écrire aussi, au lieu de la première formule (34), (35) sr— =4^ ^ — - — r-sin2nair.