CHAPITRE XIII. — DÉYELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

puis la série simple, où mainteDant n varie, est convergente d'après l'hypothèse.

La série /(5) étant reconnue absolument convergente, on peut, sans changer la somme, y grouper les termes à volonté. En faisant le groupement dont il vient d'être parlé, posant

et admettant qu'on ait, non seulement |^{<I

<jr|<;|:;|, on obtiendra

rnzu

9 mais encore

•0 . i — cos

Groupons maintenant les termes où, au contraire, l'indice m a une seule et même valeur. La somme est

i-T- ^ h ~ h... = — Iog(i--<7«'«5«);

par conséquent

Substituant cette expression de /(:;) dans l'égalité précédente (4o), nous aurons

rnzu • i — cos //» = •

Diaprés la quatrième expression (XII, 22) de ^u en produit, celle égalité peut s'écrire aussi

mzu fi "'

«2 > — ' — = lOg y

A^ I — 7*" n lia . "Kii

1 ^ — sin —

ir 2 w

43o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

et c^est précisément la formule (36), qui est ainsi démontrée à nouveau, sans le secours de l'intégration. La formule (37) s'en déduit par le changement de 11 en (w -h co); on peut aussi la tirer du développement (XII, 19) de ^^u en produit. Il en est autant des deux autres (38), (39) qui se tirent des développements de d^u et (^2'^ (XII, 17 et 9).

A peine est-il besoin d'ajouter que les conditions d'existence pour les formules (36) et (37) sont encore

tandis que pour les deux autres, (38) et (Sp), les conditions sont différentes

\«w/ \*wy \*<*>/

C'est ce qui résulte le plus nettement du second mode de démonstration.

Développement des douze quotients ^ol^i :^^u.

Les quotients formés avec les fonctions dUy (j^u, d^Uy d^u se rencontrent fréquemment. Il est utile de consigner ici les formules qui s'y rapportent. On les obtient immédiatement, au nombre de douze, en supposant (^ = o dans celles des fonctions, mentionnées au Tableau (3o), où v est affecté d'un indice.

Pour abréger récriture, nous mettrons partout la lettre «, au

lieu de -^ ', nous désignerons par m les nombres pairs positifs,

par n les nombres impairs.

Voici les douze formules, en suivant Tordre du Tableau (3o), lu par colonnes successives. Nous ajoutons l'expression de chaque fonction par les quantités \/pii — c^., en nous servant pour les constantes U de leurs expressions (VI, /jS et 49), et en employant