CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Sur la racine réelle de l'équation ^\{\9 i/x) = o.

En discutant, dans le Chapitre VIII, la marche de la fonction Si, nous avons reconnu qu'il s'y présente deux cas très différents quand q est une quantité purement imaginaire. La distinction de ces deux cas est fondée sur la considération des racines réelles x

de l'équation S*^ (^, i\/i?) = o, et nous avons annoncé (p. 287) que, dans le présent Chapitre, on trouverait démontrée Texistence d'une et d'une seule racine réelle, comprise entre zéro et l'unité. C'est de Ja série (33) que nous allons tirer celle démonstration.

Prenant la dérivée, par rapport à u, dans les deux membres (33), faisant cnsuile 11 = ^, puis observant que ^^ (^) est nul, nous obtenons

ir«2r (i) ^ i-<7»« *

Mettons i\^ au lieu de y, remplaçons le premier membre par zéro et développons la série; nous transformons ainsi l'équation dont il s'agit (VIII, 72) en celte autre

X 2t' Sa?' 4^* '

i-{- X I — j-' I -h ar' I — x^ 8

Quand a: croît de zéro à Tunilé, chaque terme du premier membre croît constamment. Le premier membre, où tous les termes sont addilifs, croît donc constamment de zéro à l'infini ; il passe une fois et une seule par la valeur numérique du second membre. C'est ce qu'il fallait prouver.

Pour le calcul numérique de la racine x, la forme trouvée au Chapitre VIII est plus avantageuse.

Développement de Jogc'u et de logs'aZ'*

On peut obtenir le développement de logrfw en intégrant les deux membres de la formule (3i), ce qui n'offre aucune difficulté :

4a8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

la constante d^ intégration se détermine aisément si Ton obser\'e

2(0 • TZU

que le quotient des deux fonctions du et — sin -^ se réduit à

Punité pour u = o. On obtient de la sorte

mzu

(36) loga'«=!^-Hlog('i^sinî^Uay-^

I — COS

De même, changeant, dans (3i), e/ en (r/ + (o) et intégrant, on a

(37) log3'iM= hlog COS ^a > ^^ —i—

^^^01 "210 Jmà I— </*'*

I — COS

Intégrant de même dans la première relation (34), nous obtenons

mzu

(38) log3',«=^+,y-l^

2W Jmd I — <7

ri/»

I — COS

et aussi, après avoir changé 11 en (^^ H- co),

I — COS

( 39) log 0*2 M = -^ h 2 > ^^ —^- •

^ ^^ ^ 2U> Jmà i — q*'^ n

Au lieu d'invoquer l'intégration des séries, nous pouvons démontrer directement ces quatre dernières formules. Pour établir la première, envisageons la série à double indice

Elle est absolument convergente sous la condition |<s| <

En effet, si l'on suppose q elz remplacés par leurs valeurs absolues et qu'on réunisse tous les termes où /i a une seule et même valeur, ces termes forment une progression géométrique, dont la somme est