CHAPITRE XIII. — DÉYBLOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Développons maintenant les deux membres suivant les puissances ascendantes de u; nous avons appris à former successivement les termes du développement (IV, 4)
pu = —1 -4- Cj M* -^ C3 M^ -f- Cv M<^ -4- . . . .
Celui de . , ? connu dans les éléments de l'Analyse, s'en dé-
duil ; car la fonction ( -^-^ -j est une dégénérescence de pa,
comme on Ta appris aux Chap. 1 et III. On vérifie d'ailleurs immédiatement que celte fonction satisfait à l'égalité
par conséquent, le développement de fa se déduit de celui de pa par la supposition g^ = ïï? o 3 = JT-
Le terme en — disparaît de lui-même dans l'égalité (76); les
lermes indépendants de u fournissent la relation
Ce développement de TjCo ne diffère pas de celui (XII, 33) qu'on a obtenu au Chap. XII, malgré la dissemblance des formes; on s'en rend comple immédiatement au moyen de la série à double indice. Suivant l'analyse faite dans le Chapitre actuel , on peut varier, d'une infinité de manières, la forme en série ordinaire ; par exemple,
La môme observation s'applique à toutes les séries qui vont suivre; nous ne la répéterons pas.
Prenant maintenant les termes en u^, li*, ... aux deux membres de l'égalité (76) et nous rappelant les expressions (IV, 4) des
coefficients C2, Cs, . . . , nous avons successivement
mp
\ T. J 9>.5.7.ii 3». 5. 7. II 8î^i-^«» 8!^ ^ '
Ac^y» I /^I ^l \ ^.69' . 1 ymi'ç^ I y ,. ..^.
\r,/ 2^i3V7« 2.3.5V 3«.53.7Vi3"" loî^i — ^"» 10!-^ ^ '
I /i^v* ^î^» ^' = __ J y ^'"y^ = A y /Htî^/'i/'
\ V 7: / 25. 3. 5*. 7. Il 3«.5«.7.ii i2Î^i — y"» 12!^ ^ '
et ainsi de suite. Malgré Tabondance de ces résultats, il ne paraît pas qu'on puisse exprimer par de telles séries tous les produits g^g^ 011 h et A* seraient entiers et positifs. En particulier, le discriminant ne semble pas susceptible d'une expression analogue. C'est ici le lieu de rappeler l'expression trouvée pour ce discriminant
(vm, 47)
1) 2 nq^ ; n = i, 3, 5, . .
Dans les développements (Sa) et (34) de p{u-h w), p(u H- o)"), p{u -\- w'), faisons de même : le premier terme nous donne les égalités suivantes, déjà obtenues sous une autre forme (XII, 34, 35, 36) :
4 V^ — ma»*
Combinées avec la relation (77), ces égalités fournissent les ex-
