CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Semblablement, la formule (a3) donne celle-ci

( ' /^-^y ' ^^-,y^./r:;<^os(/i--i)a-<y^cos(/i-f-i)a.

(69)| U'«V^/C|a -4^^V7 I — 2^«cos2a-f-^»'«

' 9w "^ !• ^y Jj ••«•

et le changement de a en f a + ~) fournît le développement de

^A — j -;j— e ^ . On formera, à volonté, les développements analogues pour les inverses des produits des fonctions <^a'') deux à deux. Mais ce sont les formules (60), (61), (62) qui doivent fournir les séries les plus remarquables. Prenant dans l'égalité (60) la dérivée par rapport à v^ puis faisant (^ = — //, nous obtenons

t: / <^^u sin'a

- îVy^r mm q^n^-X qm^l 1

»^Vy Y^^gmz-t^ i — qmz^ (l — y'w^-J)S ^ (, ym^J)f J

^à ^ Li — 2^'» cos2a -H^**» (i — 2^"* cos2a -h 7*"»)* I '

La même série où les nombres pairs ni sont remplacés par les nombres impairs n donne le développement de la fonction

L'égalité (62) donne une série ressemblant beaucoup à celle (54) qui représente Tin verse de du

71 ^u^^u sina

= 4sinaV(— i)p/ûr/'</'-^-»' !^ — ^^ r-: /? = i, 2, 3,

On voit que cette série reproduit effectivement la précédente (54) si l'on y change y en y ^. Cette circonstance, que l'on s'ex-

plique par les expressions de d et <i% en produits (XII, 17 et aa), sera étudiée dans la théorie de la transformation, Semblablemenl, le changement de y en — q échange entre eux ^2 et 'i% sans altérer ^. On a donc immédiatement

Tz (S u^tU sina

/ =4sin«y(-.)'^/^ï.<^ ^-^i-qy ,

\ ^ ^^ '^ '^ -^ I — 2(— y)^cos2a-i-y*A'

comme on peut aussi le tirer de (6a) par le changement de v en (o) — u). Ce même changement dans l'égalité (60) nous donne

T. <^u^iu sin2a

puis, dans Tégalité (61), ce même changement fournit la série

2(oe ^ U I ]^'__ ^ ^^/-;iï I — g»^

Dans ces trois dernières, on suppose toujours

Par le changement de u en (w -j-w), les formules (72) et (73) donnent les développements des inverses de rf< u ^2 '^ ^t de ^< «^ ^3 w; les deux autres (74) et (75) se changent en elles-mêmes.

Déyeloppement des racines ^a 6t des inyariants.

Reprenons le développement (32), obtenu pour représenter la fonclion pw, en récrivant, suivant nos notations abrégées,

7:11 ci= — > z — e'^j /« = 2, 4> ^? • • . » /> = I, 2, 3, . . .,

2aj

— ) ( P " -i — ' ) .-V— = — 47 — - — cos/na