CHAPITRE XIII. — DÉTELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Le premier membre de cette formule (55) se développe donc

ainsi

L ato \2w/ 2 J L \^'"/ '-".J \2<o/ a.3.4.3 J

='+î(é^.--5)(Hy

8\Tr* 3/ i2L\7r/ -20 i5J\\2u>/

Pour développer de même un terme quelconque du second membre dans la formule (55), nous avons

A — Hcos2a A — 13 (A— Bj^ De celte manière, la formule (55) nous donne les suivantes :

La première, (83), présente sous une nouvelle forme le développement, déjà obtenu, de r^o); la seconde, (84), fournit le développement du carré tj^io^. Mais la différentiation, par rapport à q, suggère un mo^en différent pour obtenir ce développement et d'autres analogues qui se peuvent tirer encore de la formule (55).

Prenons les équations différentielles (IX, 82) auxquelles satisfont les trois quantités 7|a), ^a<*>S 0^3^*5 et posons

II' t:^ 'H»

45o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

les équations différentielles acquièrent alors la forme suivante :

dio^q

= siX* -JY,

(85) { -jP— = 8XY-12Z,

^ =i2XZ-|Yî.

Nous possédons les développements (77) et (78) des quantités X, Y, Z; nous en pouvons déduire les développements de leurs dérivées. Par le moyen des équations (85) nous lirons de là d'autres développements. Ainsi, suivant (77) et (78),

Y = - -H- Vmsy'"/', p= I, 2, 3, ..., 1 2 2 Jê^ ^

Par la première équation (85), nous en concluons le développement de X-, ou, sous une autre forme, l'identité

la seconde équation (85) donne, de même, le développement de XY, ou ridcntité

^mq'"P^m^qff^P = —V m( 3^ — ^,^ w^ -t^ //^*^- J m^p)q"'P.

Les équations (78) et (85) fournissent une infinité d'identités analogues.

Développement des quantités y/^a— ^?»

En supposant u = o dans les développements (56), (58), (Sg), on a

r U jLêL ' ^ \-\- q^P

t: U' Ad^ ^ ^ i — n-ip-i'

— — - = — ly ( — i)P a^ '^^ »