CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOXÉTRIQUES. ^^l

A propos de ces développements, on se souviendra de la signification des premiers membres (VI, 4^)

- YJd)

in i

— e* -:;—#- — V^i— «aV^i — ^j'

Comme les trois radicaux v^e» — eo^ reproduisent, à un facteur près, les fonctions S^o, ^T^, STj d'argument zéro (VIII, 4^), il y a là des identités extrêmement remarquables.

Supposant maintenant w = o dans les développements (43), nous aurons

(87) < l'^ÏÏ'/' ""^Jd7^=^'

m = 2, 4ï 6> • • «î /• — i| «jj 3| ••••

Pour obtenir ces formules, on a pris, parmi les fonctions (43), celles qui s'évanouissent avec u et Ton a égalé les parties principales de l'un et l'autre membre. Laissons de côté celles des fonctions (43) qui deviennent infinies pour w = o, et prenons les six qui restent. Nous en déduisons

lit

iTZ

On développe facilement aussi les logarithmes des différences (e^ — cp) au moyen des séries indiquées pages 4^8 et 43a ; mais il ny a pas lieu de s'arrêter à ces développements qui n'ont reçu jusqu'à présent aucune application. Mentionnons seulement, à cause de sa grande élégance, le développement du logarithme du discriminant, en le tirant de la formule (IX, 66)

TjO) —

•>.4 d\oQq

Intégrant, aux deux membres, la formule (77) et déterminant la constante d'intégration par la relation (VIII, i'ci), nous obtenons

(89) KC|)''/-''r--32;j;r— 3v;-^r^,,

On parvient aussi aux développements (86), sous une autre forme apparente, par le moyen des formules (43). En supposant dans la première, /^ = ^to, on a

tt = io), 0^1 M = — eV — fi-^'"^ - ^- , -- - z ,

3'oj s'a» ^U 7:i> l'

ft -^ -jy

n-l ~in n—l4-m

"«) vi = -i2'-)-^rB='--<I'-'

2 fj-im,

On aurait encore la môme formule en faisant la même supposition dans la seconde égalité (43).

Dans la troisiruie égalité (43)? supposons // = ^a/; nous aurons

TTCi)

4 lo

Vr

/ \ 9.oi i V vy V' X

-}nn'

On obtient de même, par la sixième égalité (43) ou encore par