CHAPITRE XIV. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

lilé (3), sont alors 'icto' cl 2c'(o, et Ton a ( 4 ) c to' — c'u) = £ r R

Par exemple, la fonction ^u est dans ce cas ; ce sont alors 2r^ et 2r/ qui jouent le rôle de c et c'. De plus, il y a un seul pôle et son résidu est Tunité; de là provient la relation fondamentale

Soit, plus généralement, une fonction cp(;/) ayant, par analogie avec 'iu, la propriété

rt (|ue nous supposons fractionnaire. Sa dérivée logarillimiquo

^, — ~ sera une fonction se reproduisant par l'addition des pé-

riodes, mais augmentée des constantes c, c\ De plus, la somme des résidus K sera égale à Y excès m (positif ou négatif) du nombre des racines de 'f (w) sur le nombre des pôles à V intérieur dUin parallélogramme des périodes, et Ton aura, suivant (4),

Ainsi la propriété (.*)) ne peut avoir lieu que sous une condition Imposée aux constantes : ^ (cto' — c'io) doit être un nombre entier. On trouve encore celte condition de la manière suivante : d'après (5), on a

En intervertissant w et o/, on aura une seconde expression de cp( // + 2 (o -h 2 w'); elle devra coïncider avec la précédente, puisque la fonction Q est supposée uniforme. On aura donc

ce qui entraîne la condition susdite. Mais, par celte voie, on n'obtient pas la signification si remarquable de Tcnlier m.

46o PREXIÈRB PARTIE. — THÉORIE.

Décomposition en éléments simples.

So'\l/(z) une fonction rraclionnaîre et doublement périodique. Prenons les fonctions elliptiques, de incimes périodes, et considérons le produit

lu z) =/(z )[;(- — Ui) — li{Z — U)].

C'est aussi une fonction fractionnaire et doublement périodique, comme chacun des deux facteurs. La somme des résidus de ses pôles est donc nulle. Evaluons ces résidus.

Soit d'abord :; ^ ^^ un pôle de/(^), et supposons-le multiple d'ordre (54-1). Prenons le développement de f(z) suivant les puissances ascendantes de (::: — r), limité aux tenues à exposants négatifs

On a, d'autre part,

— ^{z — u )= ^(it — (•) -^{z — i>)p{ u — v) — ^ — ; — - p\u — V) -^. . .

-4- ( - i).<-i {irlA j) *-i) r ,/ - r) -^ . . . .

Pour le second terme de F(w), savoir — /(w) JJ(c — //), le coefficient de (3 — P')~ *, c'est-à-dire le résidu p, se compose donc de la somme

(7) p == IX^iu — v)-!- m„p(a — r)-i- //i|j/(// — 0-1-...-+- m^^-ip'-^-» (/f — r),

11 se trouve, dans la somme des résidus de F(5), autant de quantités analogues p qu'il y a de pôles de/(:;) dans un parallélogramme des périodes. Pour chacun d'eux, (5-f-i) est Tordre de multiplicité. La somme des résidus du second terme de F (3) comproud ainsi la quantité 2p. Mais, en outre, il s'y trouve encore le résidu du pôle du facteur — 1^(3 — u). Ce pôle peut être considéré comme étant z = //, et le résidu est — /('')• La somme totale des résidus de — /(^) ^(^ — «) est donc — /('') -f- ^o.

De même, la somme des résidus du premier terme f{z)\(z — W|)