CHAPITRE XIY. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES PONCTIONS

la droite dirigée, représentant 2(o, est Targument de — • Par con-

vention, -- a sa partie réelle positive^ — a donc sa partie imaginaire positive. Le sinus de cet angle est donc positif, et Tangle luimême est compris entre zéro et une demi-circonférence.

Soit a une quantité imaginaire quelconque. Considérons les quatre points qui représentent les quatre quantités

Ce sont les sommets d'un parallélogramme. Supposons qu'un rayon vecteur pivote autour d'un point situé dans l'intérieur de ce parallélogramme, et que son extrémité en suive le contour dans le sens fixé par l'ordre qu'on vient d'assigner aux quatre sommets. Ce rayon vecteur tourne alors dans le sens positif. Il tournerait,

au contraire, dans le sens négatif si la partie réelle de -r— était

négative.

Ce parallélogramme s^ Appelle paratlé/ogramme des périodes. Nous allons envisager des intégrales prises le long de son contour. Le contour sera toujours supposé décrit dans le sens qu'on vient d'indiquer.

Après avoir tracé un parallélogramme des périodes, on peut prendre chacun de ses côtés pour côté d'un nouveau parallélogramme des périodes. En répétant cette opération, on partage le plan en une infinité de parallélogrammes égaux. Dans deux parallélogrammes différents, deux points homologues représentent deux quantités qui diffèrent seulement par une période.

Intégration le long d'un parallélogramme des périodes*

Soity*(w) une fonction fractionnaire que nous nous proposons d'intégrer le long d'un parallélogramme des périodes, ayant les sommets désignés ci-dessus (i). Posons

Les quatre intégrales partielles, prises successivement suivant

/|58 PHEVIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

les quatre côlés du parallélogramrae (i), sont les suivantes, complées en ligne droite :

I /( u ) fin — j /( fi -f- 2 to ) du

/ Oi{u)du-h / /(")^«:

» ■ ft •' rt

/ y'( 1/ ) (lu = I /( // -h 2 tu' ) ^/f/

,/i-t-ï(i) /,ri-+-5a)

/» f f -T- i tu y» HT- JIM

^— / Oi(u)du— I /iti)du,

rt -4-2(1)'

/ fin) du ^-— /(u)du.

rt-l-2 0)' * a

La somme de ces quatre intégrales se réduit, comme on voit, à celle des deux seules intégrales portant sur cp, et cpo.

Soit 11 la somme des résidus des pôles def{u)j intérieurs au parallélogramme ; diaprés le théorème de Cauchy, ^AtzK représente l'intégrale totale (le sens de rotation étant positif). On a donc l'égalité

ri 4- 2 (•)' j%n I 2 (O

{'\) j 'f 1 ( " ) ^^" — / 'fil " ) ^" " '^ ^'^ '^ •

Cette relation (3) est la source des principales propriétés des fonctions doublement périodiques.

Supposons /(w) doublement périodique. En ce cas, îp< et Oj sont identiquemenl nulles; donc, d'après l'égalité (3), la somme (les résidus des pôles d^une fonction fractionnaire et doublement périodique est nulle, ces pôles étant pris dans un même parallélogramme des périodes. C'est la propriété qu'on a trouvée (|). 20 f) pour les fonctions elliptiques.

Supposons '^, etcpj des constantes c, c\ en sorte que la fonction /(«), par l'addition des périodes, se reproduise augmentée des constantes c, c' \ les intégrales du premier membre, dans Téga-