CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISifeMB ESPÈCE

propositions fournies par rintégralion le long du contour d'un parallélogramme des périodes. Ces propositions, relatives aux sommes de résidus, découlent à leur tour de la formule (lo).

La méthode d'exposition qui résulte du théorème de Liouville ne le cède en rien, comme on voit, à celle que nous avons indiquée d'abord. Mais, il faut le reconnaître, elle n'acquiert ce degré d'élégance et de simplicité que par l'intervention immédiate de la formule de décomposition; elle donne immédiatement la preuve de cette formule, mais ce n'est pas elle qui l'a fait découvrir.

Fonctions de troisième espèce.

Nous avons défini déjà les fonctions fractionnaires, doublement périodiques et de troisième espèce, et donné leur forme générale (12). Elles se composent d'une exponentielle du second degré et du produit de plusieurs fonctions d avec des exposants entiers, positifs ou négatifs. On peut les distinguer en deux groupes : 1° celles où il existe plus de fonctions (J* en dénominateur qu'en numérateur; 2° celles où, au contraire, il existe plus de fonctions (J* en numérateur. Parmi ces dernières se trouvent des fonctions entières. Les fonctions qui composent un groupe sont les inverses de celles qui composent l'autre groupe.

Un premier mode de décomposition s'offre, de lui-même, pour ces fonctions; on peut les écrire sous la forme

en supposant les exposants entiers mi, m^^ ••• lous de même signe, et ^{u) contenant autant de fonctions d en numérateur qu'en dénominateur. Ce dernier facteur ^(w) est alors une fonction de seconde espèce, décomposable en une somme d'éléments simples, dont chacun contient une fonction d seulement, tant en numérateur qu'en dénominateur. La fonction 'o{u) est ainsi décomposée en une somme de termes, dont chacun contient une seule fonction rf en numérateur ou en dénominateur, suivant que 'f(w) appartient au premier ou au second groupe. Mais ce mode de décomposition, qui peut être parfois utile, présente l'inconvénient de n'être pas entièrement déterminé : les facteurs qui composent ^{u)\^{u) peuvent être, en effet, choisis arbitraire-

ment parmi ceux de 'f (w). De plus, ce mode de décomposition ne se prèle pas à fournir le développement de '^(u) en série. Nous adopterons donc, pour élément simple nouveau, une série dont la composition a été suggérée par Texamen attentif des séries Sr.

Au Chapitre XIII, nous avons trouvé les développements de plusieurs fonctions de troisième espèce, les inverses des fonctions c^, les inverses de leurs produits deux à deux. Ces développements et beaucoup d'autres analogues avaient été formés par M. Biehier dans une thèse remarquable, dont on doit recommander l'étude (*). Mais c'est M. Appell qui, en créant le nouvel élément simple, a conduit cette partie de la théorie au plus haut degré de perfection (-).

Séries doublement périodiques de troisième espèce.

Soient m un nombre réel et positif et q une quantité plus |)etiteque l'unité, en valeur absolue (module). Prenons, en outre, une fonction quelconque 0(d:) d'une variable, et composons la double série

où n acquiert successivement toutes les valeurs entières, positives et négatives. Tout d'abord, en attribuant à x une valeur arbitraire, nous voyons que les divers arguments de 8, dans les ternies do la série, constituent une double suite indéfinie

.r or

et que leurs valeurs extrêmes sont, d'une part, infîniment grandes, de Tautre, infiniment petites. La convergence de la série dépendra donc de la nature de la fonction 6(:;) pour les valeurs infiniment grandes ou infiniment petites de :;.

( » ) Sur les développements en séries des fonctions doublement périodiques de troisième espèce; thèse par M. Cli. Bichler; Paris, Gaulliicr-Villars, 1879.

(^) Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce, par M. P. Appell {Annales scientifiques de r£cole Normale supérieure, 0* série, t. I, p. i35: t. II, p. 9; t. III, p. 9).