CHAPITRE XIV. — PONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

Supposons que, pour ces valeurs de 5, ô(::) reste finie ou, plus généralement, reste inférieure ou comparable à une puissance de 3, d'exposant déterminé. S'il en est ainsi, la série {^^o) converge effectivement; car, pour /i = dz 00 , l'influence du facteur

(y'\mn -) H^^J'"

disparaît devant celle du facteur </'"''', et les deux hypothèses, m positif, q inférieur à V unité en valeur absolue, assurent la convergence.

La fonction W, définie de la sorte par la série (20), a évidemment une propriété fort simple, relative au changement de x en q^ X. D'après sa définition, nous avons

Mais, changeant dans (20) n en (/i-f-i), altération permise puisque la sommation s'étend de — oo à 4- 00 , nous avons aussi

Nous concluons donc

Le nombre m peut, sans moins de généralité, être supposé entier, et nous ferons cette supposition. Si, en effet, m était fractionnaire, avec p pour dénominateur, on remplacerait x ei q par xP et qP\ le nouveau nombre m serait entier, et la fonction indéterminée ô(^) serait remplacée par 6(2/').

Si, de plus, on suppose la fonction 8(5) uniforme ^ la fonction W(.r) sera uniforme, elle aussi.

A chaque point singulier x de la fonction ^{x) correspondent, pour W(j:), des points singuliers, en nombre illimité, formant une double suite (21). Chacun de ces derniers est de même nature, pour W(j:), que le point correspondant pour 8(0;). Si nous supposons que les points singuliers de ^{x) soient tous des pôles, ceux de ^[x) seront aussi des pôles. Mais, comme ces derniers, dans leurs suites illimitées (21), convergent tous vers zéro ou vers

Tinfini, ^'(x) est d'une nature transcendante pour x infiniment petit ou infiniment grand; ce n'est pas une fonction fractionnaire. Toutefois cette singularité disparaît, si, changeant la variable, on remplace x par une exponentielle.

Soient donc

A toute valeur de x correspond, pour u, une infinité de valeurs, ayant la forme Uq-t- avto, où v est un nombre entier, et à .rrj'" correspondent les valeurs //q-I- 2vw + 2wcu'. Ainsi chaque point singulier de 9(.r) donne lieu à un seul point singulier de *l{if) dans un parallélogramme des périodes.

Si donc nous supposons que 0(.r) soit une fraction rationnelie, la fonction ^(u) est une fonction fractionnaire ayant, dans chaque parallélogramme des périodes, des pôles en nombre égal à celui des pôles de la fonction 9(x). Comme x est une fonction périodique de iiy à période 2(o, '}(w) a cette même période. L'addition de la seconde période donne aussi, d'après la propriété (22) de ^X*^)» ""^ propriété simple. En résumé, ^(«) est une fonction doublement périodique de troisième espèce, et Ton a

( 'i^{ tt -.-'10}' )=(—iy"e <•> ^(u). Ces relations, comparées avec les relations générales (5), mon-