CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIEME ESPÈCE. t^'Jl

ont, comme nous l'avons reconnu, la forme générale

(p(M)=Ge ^''^ " ^"U[^(u — v)y,

CU)' — c'tsi __ « t : — *- *.

tir

Un calcul direct et sans aucune difficulté donne, en outre, les deux relations suivantes entre les constantes

17:1, Iv = /l'o) — Aoj'-r- (c — c')a)a)' -f- iitito' — aj)S/,

en sorte que la connaissance des multiplicateurs entraîne aussi celle de ^ et de S/t^, sans particulariser davantage la fonction <p(«/). Pour i(w), h et A' sont des multiples de lit, le premier pair, le second de même parité que m, et nous pouvons les écrire sous la forme suivante

h=.7.{m — X:')i7t, h' = (-ik -\- m) ÎTZ,

k' et k étant deux entiers arbitraires. Nous avons aussi

, mÎTz Cia' — c'o) „ ,

11 en résulte

'lia

On voit qu'il n'y a aucune restriction si l'on suppose k = k'= o, et Ton peut admettre comme forme générale des fonctions (f{u) y ayant mêmes multiplicateurs que '^(u), la suivante :

avec la condition

(a6) «1-1- aj-H. . .-h ap^,n= 6| -h Ôj-h. . .4- 6^.

Par conséquent, en prenant trois constantes arbitraires P, P', a, et composant la fonction

472 PREMIÈItE PARTIE. — THÉORIE.

on aura le Ivpe le plus général des fonctions fraclîonnaîres de troisième espèce, dans lesquelles Texcès du nombre des racines sur celui des pôles est égal à m.

Éléments simples et entiers de troisième espèce.

Dans la définition (20, ^.3) de •}(«), figure une fonction rationnelle arbitraire 6; mais cette fonction peut être décomposée on éléments simples, en sorte que les diverses séries ^(w) se réduisent à des types distincts, en nombre limité.

Tout d'abord se présentent les séries où 0 est supposé un po!^-nôme entier. Considérons celles 011 0(:r) est réduit à i, :r, x-, . . . ou x"*^^ . Ce sont m fonctions entières différentes, et nous désignerons par Er(f^) celle qui correspond à Thypotbèse ^{x) = jc*" :

(27) E;.(m)= V ar'"«-^''7''*«(«-*'^î«'', r = o, i, x, ... (//i— 1),

rt=z— oe

La liaison entre x el u est, bien entendu, exprimée toujours par la relation (9-3).

Si l'on remplaçait ^{x) par une puissance de x, d'exposant supérieur à (m — 0» ^'^ retrouverait Tune des fonctions précédentes. Effectivement, que l'on change, dans (î>-7), n en (/? -h 5), on aura

Ainsi, dans la fonction générale ^('/), la partie entière de la fraction rationnelle quelconque 0 donne lieu simplement à unr combinaison linéaire des fonctions £;•(«/), telle que

(28) XoEo(t/)-+-XiKi (w) -+-... H- X,„iE;,i,(«),

où les lettres X désignent des constantes. Ces m termes sont d'ailleurs bien distincts et linéairement indépendants; ils se distinguent, en effet, par les exposants de x, qui, dans K;., sont des multiples de m, plus /*.

Ces séries ne sont pas nouvelles; elles reproduisent âi avec des arguments convenablement choisis. Prenons, en efl'et, la défi-