CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

nition (VIII, 17) de âi, après y avoir changé q en q"^. Nous pourrons écrire

— izq~ ^ ^li^yÇ''') = Vy'««(«-»J(— ;;î)'',

z = e^Tiv.

Comparons à cette série cette autre

et concluons à l'identité des deux premiers membres sous la condition

c'est-à-dire, pour les arguments w, r,

( 29 ) ( 2 p -r- i)a) = /?! ( M — o) ) -f- 2 A: (O -{- 2 ro)'.

Sans insister autrement sur ce sujet, qui se rattache à la théorie de la transformation, concluons seulement à la connaissance des racines de E;.(«). Dans la fonction â| employée, q a été remplacé par q'^y ce qui revient à conserver to et à remplacer co' par mco'.

Les racines v de â| ont donc la forme générale [x -f- [x' >

;jL et |jl' étant des entiers, et celles de Er(?^), d'après (^ig), sont données par la formule

2 |JL -+- 1 / , '^'r\ ,

U tu — -^ (0 -f- 1 2 U. I (0 .

On voit que (u w j est une /?i»''™« partie de période.

Chaque fonction E;- a m racines, et les m^ racines des m fonctions, diminuées chacune de co, reproduisent toutes les

m''"** parties de périodes.

Élément simple et fractionnaire de troisième espèce.

Prenons maintenant, pour 8, une fraction simple du premier degré, sous la forme

Kii X — Y

474 PREXIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Faisons correspondre à la quantité y un argument f , comme // correspond à ^r, et désignons par F(w, t^) la fonction particulière <};(//) ainsi déterminée

ilZiu — M)

l'TCi»' — f

r*mn ninnin — l)

Pour le moment, nous considérons F(«, i^) au point de vue de la seule variable u. Ses pôles sont donnés par la formule générale

Cette valeur particulière de u rend infini, dans la série (3o), le terme où n est égal à — A"' ; le résidu de ce terme, cjui est aussi le résidu de la fonction elle-même, a pour valeur

Les pôles c -h 2A*co ont pour résidu commun Tunité.

Si Ton voulait supposer, pour 6, une fraction simple du second, du troisième degré, etc., on introduirait ainsi des fonctions qui s'exprimeraient linéairement par F et ses dérivées partielles prises relativement au second argument v. On a, par exemple, en dérivant une fois,

Décomposition des fonctions de troisième espèce ayant

plus de racines que de pôles.

D'après les derniers paragraphes, on voit que la fonction ^(w), composée avec la fraction rationnelle 8 la plus générale, se décompose en deux parties, Tune entière E(«), l'autre fractionnaire F(w),