CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

le cas m == i; mais ce que nous allons dire peut être étendu, saui quelques modifications faciles, aux autres cas.

Dans le cas /w = i, il y a une seule fonction entière E(i/), celle qui doit être affectée de l'indice zéro, indice que nous pouvons supprimer. Elle diffère seulement par un facteur de la fonction 2»i et, par suite, de (iu.

D'après la comparaison faite plus haut (p. 4;^) ^t suivant les formules du Chapitre VIII, on a, en effet,

2fa)

L'élément simple fractionnaire, d'après sa nature, a la forme générale des fonctions '^{u) ('^-^) et, n'ayant qu'un pôle, il sera représenté par une expression telle que celle-ci

Mais on ne connaît pas l'argument a, fonction transcendante fort compliquée, sans doute, de l'argument r. Nous allons exprimer F(//, i) au moyen de diverses fonctions, dont chacune contiendra une seule variable.

Les deux fonctions de w, F(w, v) et E(^/), ont mêmes multiplicateurs; leur quotient est doublement périodique. Ce quotient n'a (|ue deux pôles simples ; en le décomposant en éléments simples, on aura donc

Il suffira, pour avoir l'expression de F(w, e), de connaître 'Ki'). (^'est une fonction nouvelle, dont nous allons facilement trouver un développement. Mais remarquons, en passant, qu'on lire delà

482 PREMIÈRE PARTIE. — TOÉORIE.

Multipliant aux deux membres par

h{ Il ) ^11 * — —

^^ ^. ÎO)

on conclut

3'(w — r?) 3'( M — i- -;- a ) • — „, Y{n,v)rAu \

!: : g ico =~i V (il K' ) — •

C'est justement la formule que Ton obtiendrait si Ton décomposait le premier membre en éléments simples, par les méthodes <lonnées dans ce Chapitre, soit qu'on le considère comme fonction de w, soit qu'on le considère comme fonction de \\

Revenons à ^(r). Pour obtenir son expression, développons les deux membres (45) suivant les puissances ascendantes de (// — i'). D'après la forme (3o) de F(w, v)^ avec /;? = i , on trouve ainsi les deux premiers termes du développement, en réunissant, dans la série F, les termes qui répondent à deux valeurs de //, égales et dr signes contraires :

„, .K(r) I I 7,1' ^ ÎT. ir.y^ , ,,y" — q^"y-" \

h(W) M — l' I tu (U t'i^d' I <7*" I

Les termes correspondants, dans le second membre (4^), soni

— - -- ^v -i-'ld') -■- —

en sorte que l'on a

(46) ^(p) = !'i -il:- '-^y^//(«-i)2 'L^l—, y=:-€^>\

'^ ^ ^ -^ (Jû M (O ^ ' I — <7»« '^

Cette fonction entière ^{v), comme on le reconnaît sur celle expression (4<)) ou sur la formule (4'^)> a 1« propriété suivante :

•|(r -h v».o/; = f\>{v ) -•- 'ir/-\ - ' E(r i.

Pour r = o, la fonction s'évanouit et sa dérivée a une valeur re-