CHAPITRE XIV. — PONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

Revenons maintenant à F(iij v) pour conclure

m/Tli*

(40) l Ît/"^^ (m-D/TIi^

A cette relation il faut joindre aussi la relation évidente

Ces deux propriétés donnent lieu à deux propriétés analogues pour la fonction ^(w, (^). Soient eu -f- h et c' u -h A' les exposants des deux exponentielles qui constituent les multiplicateurs de ^(u, v), considérée comme fonction de u; suivant la définition (34) on a

^4 P 0) ^ M ■+- (i) ) -4- 5 P' (O - gCU -h/i

mitZin-^-fi )

U résulte alors de la relation (4i) cette analogue

e7(t/, t^ H- 2 0)) gPt,s p,t,^2to)«-f.p'i'-P'(<'4-îa))— ^ cv-h

en sorte que, pour l'addition de la première période à Tun ou Tautre des arguments, on a les deux relations

( rf (î/ -4-20), 4^)= i(M, r)^''"'^^»

Semblablement, de la formule (4o) on conclut le résultat de l'addition de la seconde période au second argument, et Ton a les égalités

cf ( w -4- 2 to', t') = ^( w, v)e^'''+i^,

(43) { , r = m-\ ,„;^,/TCiM->-ni

0) .^ïd

Si, dans le second membre de la formule (35), on change v en p j 2(0, on voit, par la relation (4^), que ce second membre se

48o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

reproduit, multiplié par e~^*'"^. Mais, si l'on y change r en i' -|- 2 o/, le second membre se reproduit, multiplié par e"'^'*'"^', et il s'augmen teen outre de la quantité ci-après

^ im- r ) I TC ( t» -»- 1» )

^,|.,..^2,oV-l"(».-Kî<u'.y (.,)m-re (o [Roe:,.((l>)-r K, C;.( CP )-t- . . . -^ \\^^tC^/'-'\

Pour que cette dernière soit nulle, quel que soit r, il faut et il suffit que les relations (38) aient lieu effectivement.

Quelques formules relatives aux fonctions de troisième espèce.

Parmi les séries qui résultent de ces décompositions, appliquées aux exemples les plus intéressants ou les plus utiles, on en a déjà trouvé beaucoup, par une autre voie, dans le Chapitre XIII. Bornons-nous à considérer encore les développements de l'inverse de dii^ élevé a diverses puissances.

Suivant ce qui a été indiqué précédemment (34)» posons, en rappelant le nombre m par un indice,

et écrivons simplement

D'après le développement de du {p. 3oo),

et la formule de décomposition (35), on a immédiatement

L - . L f 'V ^* f JL - L f V __ ^ -f '