CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. l3l

Autre forme de l'inversion.

D'après la relation (46), on peut, pour chaque racine x^^ mettre la différence [^x — t») sous la forme

et a est un argument qui, mis à la place de (m + - )> doit rendre nul le premier membre. C'est donc coa.

Ecrivons, pour abréger, u-^ - = t, et nous avons cette formule

T — XaL = ' ^^ (a = o,i,2,3).

Mais il y faut distinguer des trois autres celle qui correspond à 7.=z Oj 0)31= o. Nous avons ainsi deux formules distinctes

X — Xq =

De là résulte

37 gt — X^ —

(ea-ep)p'-

{Xx — ^o)(^î— ^s) ^J — ^8

(a^t — aro)(a:i — ara) ^1— «3 Par cette égalité (65) se trouve déterminée une quantité équivalente à l'invariant absolu ^ ; c'est précisément le module k qu'on a envisagé quand le discriminant est positif. On connaît donc, par

l32 PRBSUÈR£ PARTIE. — THÉORIE.

là, rinvariant absolu des fondions elliptiques à employer, exprimé au moyen des racines de X. On peut de même déterminer v par l'égalité, déduite de (64),

Xg^ Xq Cg^ e«

Cette dernière donne p-f puis l'une des égalités (64) fixe j>'-.

Cette forme de l'inversion doit être employée de préférence dans les applications, assez rares, où les racines de X sont mises en évidence. Par un calcul facile, on peut retrouver les formules propres à cette solution sans passer par l'intermédiaire de la solu> tion précédente. C'est ce que nous allons faire; mais il importait de bien montrer que les deux solutions diffèrent par la forme seulement, non par le fond.

Nous mettrons, dans ce calcul direct, \v au lieu de -> et nous

introduirons, en outre, une constante arbitraire A. Ainsi nous posons immédiatement

■ Xq — — »

pt — pw

{p^—eoL^pt — pw) et nous en déduisons, comme précédemment, *^ ^ par l'égalité (65) et pfv = j>-par l'égalité (66). Il s'agit de retrouver

maintenant l'expression de y/X. C'est ce qui a lieu par le calcul suivant, où le symbole II désigne le produit de plusieurs facteurs analogues :

X = ao(^ — ^0) JJ(a? — ^a)

«qA» TTP^— g« flrpA* p'^t

~ (p/ — pwy*\.\.pv — e^ "~ {jpt — pwy* p'^w'

zb /X= /ô^-T — / ^ Ti»

^ ^ pw{pt — pw)*

dr Ap't

(^^^ \ 'di ~~ (pt — pw)*'