GDAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I

en (aci), — ç). Ce second argument esl, comme t^, entre les limites zéro et b)| .

Si nous supposons maintenant t^ = is, et que s varie comme

tout à l'heure, -7- sera positif; donc :

ds

Quand X croît de x^ à X2. //H Wi est purement ima-

g inaire; son quotient par i croît de zéro à ^ ou décroît de

zéro à — ^ .

Il ne reste plus à examiner, pour x, que Tintervalle (j?^, x^). On obtient ces valeurs de x en supposant

U = f- Wj -h f

et faisant croître la variable réelle t de zéro à C0|. Nous aurons alors

quantité dont le signe est encore invariable dans Tintervalle assigné à t. Ce signe est opposé à celui de p'( wj -H - j > et nous savons

(p. 43) que c'est le signe moins, - étant moindre que (o,. Donc X décroît ; en conséquence :

Quand x croît dex^à x^j u-\ CO3 est réel et décroît de (o,

il zéro y ou croît de — tO| à zéro.

Cas où les quatre racines sont imaginaires.

Ce cas est bien plus simple; on sait que ^ ne devient jamais

nul, et que((' — toj) est réel. Choisissons ce dernier argument

entre zéro et acoi.

dx Si Ton prend u réel, x est toujours réel, et ^ positif. La seconde valeur de u est alors une quantité réelle, à la demi-période (O3 près. En conséquence :

Quand x croît de — 00 à -{- <x> ^ u est réel et croît de zéro à 20)1, ou bien {u -\- W3) est réel et décroît de 2(0, — (v — 0)3) à — ((> — W3).

l3o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Cas OÙ deux racines sont réelles et deux imaginaires.

Le discriminant est alors négatif, v est réel. On prend cet argument entre zéro et scoa. Les racines de X sont Xo, ^2 et l'on a

Les raisonnements faits pour les trois premiers cas dans l'avantdernier paragraphe s'appliquent ici sans modification. Il n'y a qu'un changement dans la notation, el voici les conclusions :

Quand x croit de Xq à-\- ce ^ u croit de à zéro, ou décroit

de à — (>.

Quand x croit de — co à x^y u croit de zéro à \- iù^y ou

décroit de — va — l — hwa).

Quand X croit de x^ à x^^ u-\ — est purement imaginaire^

et-.\u-\-^-\ décroit de^ à zéro ou croit de — ^ à zéro,

Inversion en quantités réelles.

L'inversion en quantités réelles consiste à faire varier u de telle

sorte que, non seulement x, mais encore y/X, soit réel. Nous venons de voir comment varie u quand x est réel. La seconde condition n'offre aucune difficulté.

Quand les quatre racines de X sont réelles, on doit prendre

u réel ou bien u — coj réel^ si a^ est positij; u-\ — ou bien

w H coi purement imaginaire, si ao est négatif.

En effet, x est ainsi dans l'un des intervalles où — est positif

dans le premier cas, négatif dans le second.

Quand les quatre racines de X sont imaginaires, on doit prendre u ou bien w -f- (1)3 réel, si ao est positif. Si a^ était négatif, le problème serait impossible, y/X étant toujours imaginaire.

Quand deux racines de X sont réelles et deux imaginaires,

on doit prendre u réel, si «o ^^t positif; w H — purement imaginaire, si ao est négatif.

X Xrt^^