I. II

l62 PRBXlfaBR PARTIE. — THÉORIE.

iians laquelle m et e ont la même signification que pour la formule

Valeurs limites de <l>(a, 2) quand les arg^uments convergent

vers des périodes.

Nous savons déjà (69) que <ï> est nui quand un des arjçunients est nul. Mais il n'en est pas de môme quand un argument esl infiniment petit; c'est là un des caractères de discontinuité.

i" Quand a tend seul vers zéro, la définition (5i) montre que <I>(6r, a) tend aussi vers zéro. Il n' j a là aucune discontinuité. Ainsi

<74) Iiin*(a, a) = o.

2" Quand a tend seul vers zéro, on voit dans les formules (70) ou (72) et (726) le terme 4><(a, a) tendre vers zéro, comme on vient de le reconnaître, tandis que le second membre présente une discontinuité; donc ^(a, a) est discontinu quand a tend vers zéro; sa valeur limite n'est. pas la même quand l'infîniment petit a esl positif ou quand il est négatif. Effectivement, l'égalité (53)

<l»(^/, a) =-. / — / di \ da ^/(a, a),

dans laquelle a est supposé entre r- et H ^ , et dans laquelle

aussi <j^(a, a) conserve toujours une valeur finie, fait voir que 4>(a,a) se réduit à la première intégrale : celle-ci devient zh -n,

suivant le signe de - • Nous avons donc

lim*(a, a)= £î'7t, £a>o, £'a> o,

3® Si a et a tendent ensemble vers zéro, la même égalité (53) fait voir que ^(cr, a) est indéterminé; sa valeur limite

(76) lim * (a, a) = 2 arc tang-

uer 0, ai:::0 ^

dépend de la manière dont a et a tendent ensemble vers zéro; c'est un arc quelconque, compris entre — 7: et -h tt.