CHAPITRE VI
LA FONCTION ru.
Définilion de ru pour les arguments réels. — Homogéncilé. — Dérivée. — Addition de la période. — Racines réelles de ru. — Formule fondamentale. — Arguments purement imaginaires. — Arguments complexes. — Imparité. — Changement de u en iu. — Dérivée. — Addition des périodes. — Addition de la période 2ti)j(A<o). — Continuité de ru. — Dégénérescence de ru. — Lacune que présente le développement de ru. — Propriétés caractéristiques de ru. — Équation à trois termes. — Les fonctions y,i/, r,M, r,M. — Expression
des quantités ^pu—e^ par les r. — Diverses expressions de ^e^ — e,, de ^e^ — e, ^€^—e^ et des quantités analogues. — Addition des demi-périodes dans les fonctions r. — Expression de p' u par les r. — Multiplication de l'argunicnt dans ru. — Intégrale complète de la fonction 2^.
Définition de ^u pour les arguments réels.
L'intégration de ^u est l'origine de la fonction que nous avons rncore à introduire. Soit iv une période : quand u converge
vers «\ tu devient infini à la manière de > et son inlécrrale
devient, elle aussi, infinie, mais à la manière de \og(u — iv). Pour éviter cette singularité, on prend pour nouvelle fonction une exponentielle, dont l'exposant est l'intégrale de ^u.
En définissant Çw, nous avons considéré (V, 3) la fonction
1 r„ JLcoi— -F(w)- f"/(u)
" I \ 9,cosin — / I
Elle est finie et continue pour loutos les valeurs (réelles) de u. La même propriété appartient à son intégrale J(w)
du
(2) ,f(w) = / T{u)du = / du f
