CHAPITRE VI. — LA FONCTION "i U

La nouvelle fonclion (ia sera définie par TégaHlé

(3) -ia— — sin — e'

C'est une fonction impaire comme le sinus; car F(f/) est impaire et, par conséquent, ^ (w) paire :

Homogénéité.

Les relations d'homogénéité établies successivement pour j///, jjf/, X^u font apparaître toutes ces fonctions comme homogènes <'l des degrés respectifs — 3, — 2, — i, quand on y envisage w, (o, o/ comme étant du degré 1, et ^2? ©"3 comme étant des degrés — i,

— 6. La combinaison F(w) est, comme ÎÇ//, homogène et du degré

— I, et son intégrale J(tt) est homogène et du degré zéro; par conséquent, du est homogène et du degré i :

(5) ^{'Jt' ^''^'' ^3!^M = ~/;=^("» '^*» ^3).

Cette relation (5) comprend la précédente (4) comme un cas particulier.

Dérivée.

Par la définition (3), on obtient

l -r- loff 0* w — -^ cot ^^ h F(w) = î M,

Addition de la période.

D'après l'égaHté (V, 5)

F(a -4- ato) = F(w) -+- ar^, on obtient, en intégrant de zéro à w,

eT(M -4- 20)) — rT(2U)) = iu -r- ir^U.

Faisant w = — co, nous voyons, dans cette relation, se détruire

l'yO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

los deux lonnes ^(u-\-'Hi)) du premier membre, et J(^/)dii second membre, la fonction .f étant paire-, donc

D'autre part, sin ^^— se reproduit, changé de signe, quand on change // en (u -|- aw). Donc, d'après la définition (3), ( 7 ) r(i/ - - 9. w) - — ^ii,e^Vu^^\

re qu'(»n peut écrire aussi

3'(iu — M)

Pour Taddition de 2//îo), on déduit de (-)

(j[ii-^ li^m — i)a)J

S'fl/ -+- 2(/?î — l)a>] . , ,. „ ,

^[u -i.-'À(m — a)(oJ ■

i : ffitt' Il hti))

Multipliant ces égalités membre à membre, et tenant compte, pour composer IVxponentiellc, de la relation

on obtient la relation générale

qui, démontrée ainsi dans Thypothèse m positif, est vraie aussi, quand /// est entier et négatif. C'est ce qu'on voit par le changement de u en — ii dans cette relation (g) elle-même.

Racines réelles de o'i/.

L'exponentielle r''''"* est toujours positive, sans devenir jamais nulle; donc, suivant (3), du a toutes les racines du sinus, sans en avoir d'autres. Les deux fonctions ont toujours même signe. Les racines sont de la forme // r^ amw.