CHAPITRE VI. — LA FONCTION OTW. IQS

est réelle et positive. C'est, au facteur dtù près, di (It). Comme dt est une fonction paire, <d\{it) est réelle; de plus positive, car elle l'est pour ^ = o, et ne s'annule pour aucune valeur réelle de t. En supposant it = w', on voit que (3'o)" est le produit d'une quantité positive par l'exponentielle é^^\ Par suite, à un facteur positif

près, le second membre de (45)? abstraction faite du facteur y/î*, se réduit à une exponentielle dont l'exposant est

= {(T,a)-+-r/a)') — i(r,a)'— T/a)) = ^(7iW-f-V««>')--^• D ailleurs r^w et r^ w sont réels, donc e^ est réel et po-

sitif. Le second membre de (45) est donc le produit d'un facteur positif par \]i et pare *. Il est donc réel et positif si l'on prend

Dans la troisième série, nous aurons de même

-TJ Cl)'

(46) V^gi— g3 V^g|— g3 = t ^^, >

et le signe du second membre est déterminé d'accord avec les formules précédentes et celles qui donnent les racines carrées. Effectivement, si l'on multiplie membre à membre les relations (44)» (46) et qu'on divise les deux membres par ceux de la relation (45), on obtient

/ '-p 0*0/ -(TJW-HYl'O)' — yj-Ci)")

Nous venons justement de prouver qu'on a

1/ t I m Ifs I , ^"^ , ITZ ÎTZ , ilZ |(t^W -h T, W — t/o) )= — r,tO-i--— = T^(l> \ = — Tj'w .

L'exposant de e se trouve ainsi être — r/w, comme il convient. Les relations (44)j (45), (46) doivent ici être considérées comme nous fournissant l'expression des trois constantes

en fonclion de ^i, e^, 6%, Dans le Chap. VIII, nous les considérerons d'un point de vue justement opposé.

Ces mêmes relations entraînent une conséquence qu'il faut remarquer. Si l'on considère l'identité

I e^—ez

et les deux analogies, on conclut

-^ 7 ri : = ^1

piir conséquent,

($7) \e * Cw^' H- U * Cw'j -+-\e « c'w'/ = o.

Les trois formules

y ex — Ci v^i — e3 =

Tt >

^'^ \ v^ej — «3 v^'^i — ej = e *