CHAPITRE VI. — LA FO^CTIO^* ^U
d'ambîgiiïlé
vpu — ^1 = = ="
V'pw — e2 — — — s'oj'. yw ~ ViTTVïi ( 7/ = 7) -r- r/
/pw — «3 = ^
Prenons successivement pour u les trois demi-périodes, en laissant de côté dans chacune des relations la demi-période qui rend nul le premier membre. Nous aurons ainsi :
1° En faisant u = u dans les deux dernières,
y'^-''= -^ - yco'. S'a) '
et de là, en multipliant membre à membre et extrayant la racine carrée,
yjei — eiyjei — ez —
2" En faisant u =^ to" dans la troisième et la première ou, si nous voulons, en permutant circulairement les indices i, 2, 3 et les accents o, 11, i,
y/ej — eg =
" o'co'.s'w'
V^^s — ^av'^i— «I ^
3** En faisant u = w' dans les deux premières,
igS PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
En comparant les deux déterminations qui s'offrent ici pour
deux radicaux, tels, par exemple, que y/ei — 62 et y/e^ — ei, nous voyons qu'elles sont reliées ainsi
Y ^ "~ ^' = — eV w-TiW = eTi'w-r,a>' == ,*; y/ej — e^ = - / /ej— er
/gi - g3 ^ ^^, w-r.-W ^ en' w-/;w' = * ; y^e,— e, = ^ * ^63-^, .
/gj— gj
V^gi— gj
= -h e^iw'-r/to — , ; ^^.j ^3 = ~ e /ea
gr
/g3— gi
Les six radicaux sont ainsi ramenés sans ambiguïté aux trois
premiers ^Ci — ea, ^e^ — ezy \Je^ — ^3, qui sont réels et positifs, dans le cas où le discriminant est positif.
Les racines quatrièmes qui interviennent ici peuvent aussi se ramener à trois d'entre elles. Que l'on en prenne une avec une des deux déterminations qui résultent de la racine carrée correspondante, et l'on pourra préciser les autres. Dans le cas du discriminant positif, par exemple, que l'on prenne \Je^ — Ci positivement, alors
V^i — Cz est pris positif aussi, et ces deux racines donnent
^TQW
(44 ) v^^i — gj v^^i — ^3 = ^—7 •
On a ensuite, dans la seconde série, en remplaçant ^e-i — Cx par-rv^ej — 63,
(45) \r^;iiT,yj;ir^,^,/r-—,^
On précise ainsi V^a — ^s si l'on précise aussi \li\ prenons
S'il en est ainsi, on peut voir que y/e^ — e^ est positif quand le discriminant l'est aussi.
En effet, observons d'abord une circonstance qui s'offre à chaque instant dans les applications, c'est que, l étant réel, la quantité
