CHAPITRE VI. — LA FONCTION ^ U, IqS

formules fort simples, relatives à l'addition des demi-périodes pour ces fonctions. Il y a quatre fonctions d et trois demi-périodes, donc douze formules ; mais nous les résumerons toutes dans trois seulement. A. cet effet, nous désignerons par cJqi, cjp, cjy trois demi-périodes, ayant zéro pour somme

u)a-f- wp-f- Wy— o.

Nous poserons, en outre,

- 1 TQ.Wa

Ua= s'oDg. e *

et de même Up et Uy désigneront des quantités analogues; par la définition de d^u^ on peut écrire les deux formules suivantes :

Dans Tégalité

c'(m -4- a>p)= e^?" a'cop cfpi/,

qui définit (^p, changeons tt en w + (!)«, et remplaçons Ci>a+ wp par — tOy, (^wp par son expression au moyen de Up; il viendra

Comparant cette dernière égalité à la première ci-dessus, où l'on changera a en y, on aura successivement

UyO'ya

En vertu des égalités

Wa-f- a)p-+- Wy= o, T)oi-4- TlpH- T)y = O,

l'exposant de e, au second membre, se réduit à ^(vjawp — T^ptOa). Soient

Wa= />at»> H- Ç'aw', wp = /?p(D H- çrpw', TQa= />a TQ -^ q^-^, TQP = /?pTQ -i- Ç'P w';

on en conclut

Soit, pour abréger

Les trois formules d'addition des demi-périodes s'écriront ainsi

tf(«rfca,a)=:^e*^-(''*ï"*)Ua^a«, (49) ^^«(«±.-a)=:^e ^ » V,*"'

Par l'échange des indices a, jî, y, ces trois formules donnent toutes les autres. On doit remarquer que les six nombres entiers tels que (a, P) se réduisent à deux, égaux et de signes contraires, parce que les trois entiers/? ont zéro pour somme, comme aussi les trois entiers q. De là résulte

Si, de plus, comme on doit le supposer, les trois demi-périodes sont différentes (aux périodes près), l'un, au moins, des deux entiers Pf 7, dans chaque couple, doit être impair, et (ajî) est un nombre impair. Cet entier (a^) est égal à zi= 1, si les trois demipériodes, aux signes près, sont w, w', w".

Expression de p'u par les a*.

La foïiction p' w a une expression remarquable par les fonctions (3*. D'après la relation

p'u =±2, y/{p u — et){pu — ëi) {p u — «3), il apparaît que p'u est le double produit des trois quantités -^f mais avec quel signe ? Il suffit de considérer la valeur u = o, pour reconnaître que ce signe est négatif. Ainsi

, e >, , 3*1 M. O*» M. 0*3 M (5o) pM=— -2 ~

Multiplication de l'argument dans ^u.

Si, dans la formule (12),

(5i) pu — pv= ^^