CHAPITRE VI. — LA FONCTION ^ U, I

on fait tendre v vers m, après avoir pris les dérivées dans les deux membres par rapport à (^, on obtient

Ce résultat, comparé au précédent (5o), donne cet autre

Si l'on remplace d^ w, (3'2W, c'a//, par leurs expressions convenablement choisies, on peut encore écrire

.^« ^ ^, . 2 3'(m — CO) 3'(a -h tu'-f-io) a'(W — (!>') a'M

(53a) a'(2a)= — ^^ -zr^-zn ,J^ , ;

^ ' ^ ' Cw a' ((!>-+- co) c'a)' '

les exponentielles disparaissent quand on prend ainsi les trois demi-périodes, de façon que leur somme soit nulle.

Cette formule de duplication de l'argument dans du peut être aisément généralisée et étendue à la multiplication par un entier quelconque. Dans (5i) faisons v = nu^ nous aurons

p{nu) — pu = -— -—2 9

résultat que nous écrirons ainsi

/^M ,./n„N ,.„ d(n-hi)u cr(n-i)^ [(cfuY'y

(5,) p(nu)-pu = ^ (0-1. yn-.»» (^a)>^-i)« [-VJ^\ •

Si nous le comparons à la formule de multiplication (IV, i4) (54a) pnu-pM^.i-tLi-'

nous ne pouvons manquer d'être frappés de la ressemblance des deux formules : elles coïncident si l'on assimile l'une à l'autre les deux fonctions

^n(u) et

Or les valeurs initiales, pour l'une et l'autre, sont les suivantes (52 et IV, 7) :

Les deux fonctions coïncident donc pour les indices i et 2. Si,

dans les formules (54) et (54a), on suppose /i = 2, on en conclut que les fonctions coïncident pour l'indice 3 ; en supposant ensuite n = 3y on voit qu'elles coïncident pour l'indice 4? etc.. Donc, généralement,

a'(na)

(55) UW =

Supposons d'abord n un nombre impair. Les /i'*™" parties de périodes sont en nombre (n^ — i), distinctes entre elles, à des périodes près. On peut les partager en deux groupes ; chacun des groupes est composé des éléments de l'autre groupe changés de signes. Alors a, a^, ... étant les éléments d'un de ces groupes en nombre ^(ai^ — i), la fonction ^«(w) est un polynôme entier en pu, savoir (IV, i3) :

ce que nous pouvons écrire, à cause de (5i),

3'(wH-a)a'(a — a) 3'(m -h a, ) 3'(z£ — «1) i ^(nu)

%(u)-^ n — <^{--a) ?âi 3'(— a,) ' " (Cm)'**-» ~ {Tûy^*

Nous avons donc

a'(M-i-a) cf(u — a) a'(a-f-ai) a'(a — ai"!

^(nu)= n c'a

c'a 3'( — a) 3^(«i) 3'(— ai)

Si nous modifions chaque terme r — -^ en remplaçant b par

0-1-2(0, ce terme se reproduit multiplié par l'exponentielle e^^<". Si nous choisissons les divers û de façon que leur somme soit nuUe^ la somme des fj correspondants sera nulle aussi. On peut donc généralement écrire

/r/»v ^/ ^ 3'(w -4- a) 3'(M-i-ai)

Ta Tai

a, ai, ... reproduisent, à des périodes près, les /i»*^™" parties de période, en nombre (n^ — i), et sont choisies de façon que leur somme soit nulle.

En second lieu, si n est un nombre pair, ~ — est encore un

fil t

polynôme analogue, du degré > en pu. Par les mêmes consi-