CHAPITRE VI. -— LA FONCTION ^U. Î

dératîons, on peut écrire ce polynôme sous la forme

ya cfai (s'a)"*-*

En le multipliant par

p' u <^{u — w) o'(a H- W -4- 0)') 3'(m — O)') I â~ a'(— w) a'(a>-+-a)') 3'(— w') (Tw]»'

on obtient en définitive, pour ce cas encore, la formule (56), démontrée ainsi en toute généralité.

Intégrale complète de la fonction ^ {^).

On rencontre fréquemment, dans les applications, les deux intégrales définies

loi' '/o • 0

dans lesquelles (^ est quelconque, réel ou imaginaire. Au cas A <; o, 0), 0)' désignent 0)2 et w!j. Nous avons actuellement les cléments nécessaires pour déterminer avec précision ces intégrales, qu'on appelle complètes parce qu'elles sont étendues à une période entière.

Considérons la seconde. L'intégrale indéfinie nous est connue,

c'est - log (^{iu -h v). L'intégrale définie est donc

- log — i = ^log[— cî^/tf+w'î]

mais elle comporte une indétermination qui est dans la nature du logarithme, en sorte qu'on a

Ç(ia 4- v)du = — 2iT/(v -h w') •+- (2/1 4- i)^;

le nombre entier n est à trouver. A cet efi*et, prenons la quantité

(') Voir la même queslion, sous une autre forme, traitée par M. Hermitc : Sur l'intégrale elliptique de troisième espèce {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCIV, 1882, p. 901).

igO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Expression des quantités ^p u — e^ par les 3'. La formule suivante, déduite de (12) par la supposition

^"-'""-^ — ï^M.ynô = ^««.=-«0. '

peut être écrite

Convenons de désigner aussi par e^ l'une quelconque des trois constantes ^i, e^^ ^3, avec le même choix de Tindice que pour ^01 w, et nous aurons, en extrayant la racine carrée

,> Il

Les trois radicaux y/p a — e» s'offrent donc comme dépourvus d'ambiguïté, avec un signe toujours déterminé.

Prenons, par exemple, le cas du discriminant positif, et supposons u réel. Alors 3*2 «^ et d^u ne deviennent jamais nuls; ces fonctions sont donc toujours positives, puisqu'elles sont égales à + 1 po^ur w = o.

Pour 3*1 w, il y a, au contraire, les racines u = (2/71 -|- i)w, eu sorte que i^u est positive entre — 10 et -j- w, négative entre to et

3(0, Quant k du^ cette fonction est positive entre zéro et 210,

négative entre — 2w et zéro, entre 2(0 et 4 w,

Les racines carrées y/^i — 63, ^€-2 — e^ étant extraites positivement, nous aurons ainsi (Chap. II, p. 43)

sn(a/e| — es) = /<;i— e, -— -

cn(u v/?r=^,) = ^'-' ( mod A = ^''' " ''

tln(w v/^i — 63) =

^3" [ \ /ci— ^3

Diverses expressions des quantités /ei — ej et y^ei — ejvei

Considérons les trois radicaux \/pu — e,, désormais dépourvus

CnAPlTRE VI. — LA FONCTION S'W. IQl

d'ambiguïté

\/pU — Ci— — -- •

I 3^2 a e-'n'" 3'(a>' h- u^ eV^'-^JM' — it) f o/^ a> -,- w'.

Vpw — ej — ^7^ — ^-o,'. y a ~ s'a)'. 3'« i t/ = tj -i- r/.

3'sa e-fï' ** ^ (iti' -h u) e'n''*-ï((i)' — u)

\/pu — f 3 =

7M ^0) . ^ U jtU.Ttt

Prenons successivement pour u les trois demi-périodes, en laissant de côté dans chacune des relations la demi-période qui rend nul le premier membre. Nous aurons ainsi :

1° En faisant u = to dans les deux dernières,

^ ^ ^ S'a, 3'to\3'to

et de là, en multipliant membre à membre et extrayant la racine carrée.

2" En faisant u =i tù" dans la troisième et la première ou, si nous voulons, en permutant circulairement les indices i, 2, .i et les accents o, 11, i.

/" 3'ico'' eyi^'-ïui'

yj e^ — ez^J et — ej =

3° En faisant u = (o' dans les deux premières,

/ a*, tu' e-^*^' îTco'

iga PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

En comparant les deux déterminations qui s'offrent ici pour

deux radicaux, tels, par exemple, que \Je\ — ej et y/e^ — ei, nous voyons qu'elles sont reliées ainsi

y gj — gg ^r: (o'-Tj-'a)' ^ .- er/ a>-r,<i>' =, { ; /e, — e^ = ^i /f 3 — €i •

vei — ex

Les six radicaux sont ainsi ramenés sans ambiguïté aux trois

premiers yjci — es, sje^—el, y/ej — ^3, qui sont réels et positifs, dans le cas où le discriminant est positif.

Les racines quatrièmes qui interviennent ici peuvent aussi se ramener à trois d'entre elles. Que l'on en prenne une avec une des deux déterminations qui résultent de la racine carrée correspondante, et l'on pourra préciser les autres. Dans le cas du discriminant positif, par exemple, que l'on prenne y/^i — 62 positivement, alors V'ei — ez est pris positif aussi, et ces deux racines donnent

(44) Vei — ^î V^e, — ^3= -^^-'

On a ensuite, dans la seconde série, en remplaçant yje-i — Cx par^y/ei— ^2,

(45) {/^TZT^J/ej—ejrr. /?-__.

On précise ainsi V^a — ^8 si l'on précise aussi \/i\ prenons

va

S'il en est ainsi, on peut voir que y/^a — e^ est positif quand le discriminant l'est aussi.

En effet, observons d'abord une circonstance qui s'offre à chaque instant dans les applications, c'est que, t étant réel, la quantité