CHAPITRE VI. — LA FONCTION a'M. igS

formules fort simples, relatives à Taddition des demi-périodes pour ces fonctions. Il y a quatre fonctions d et trois demi-périodes, donc douze formules ; mais nous les résumerons toutes dans trois seulement. A. cet effet, nous désignerons par Wa, wp, Wy trois demi-périodes, ayant zéro pour somme

U)(xH- WpH- tOy= O.

Nous poserons, en outre,

et de même Up et Uy désigneront des quantités analogues; par la définition de ^a", on peut écrire les deux formules suivantes :

Dans l'égalité

a'( u -4- wp) = e^?" a'wp «^p a,

qui définit c^p, changeons i/ en i/ + ^ol^ et remplaçons (i>(x+ (o^ par — (Oy, o^wp par son expression au moyen de Up; il viendra

Comparant cette dernière égalité à la première ci-dessus, où Ton changera a en y» on aura successivement

ce a - toy ) = - c"'''t("" î ^^t) Uy a'y M,

UyO'yU

En vertu des égalités

Wg-f- top-t- u)y= o, TQa^- ^p-^ ^Y= o,

Texposant de e, au second membre, se réduit à ^(TjaW^ — ^pw^). Soient

ci)a=/>aCi) -h ^aO)', (op = />p w -H ^p w', T^a= />« T^ -^ ^aV, T^P = />pTQ -+- ^p W;

on en conclut

T^awp — Tipto)a=(/'a^p— /'P^a)(T^w'— Vw)=(/?a^p — pp^a) — •

ig6 PREXIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Soîl, pour abréger

Los Iroîs formules d'addilion des demi-périodes s'écriront ainsi

Par l'échange des indices a, P, Yi ces Irois formules donnent toutes les autres. On doit remarquer que les six nombres entiers tels que (a, P) se réduisent à deux, égaux et de signes contraires, parce que les trois entiers/? ont zéro pour somme, comme aussi les trois entiers ^. De là résulte

Si, de plus, comme on doit le supposer, les trois demi-périodes sont différentes (aux périodes près), l'un, au moins, des deux entiers p, q^ dans chaque couple, doit être impair, et (a^) est un nombre impair. Cet entier (a^) est égal à ib i , si les trois demipériodes, aux signes près, sont (o, w', co".

Expression de p'u par les a*.

La fonction p'w a une expression remarquable parles fonctions rf. D'après la relation

p'u = ±2 )/ipu — ei){pu — et){pu — e^), il apparaît que p'u est le double produit des trois quantités -jî— > mais avec quel signe ? Il suffit de considérer la valeur w = o, pour reconnaître que ce signe est négatif. Ainsi

(5o) pu = — 2 — i 1 —'

Multiplication de l'argument dans (^u.

Si, dans la formule (12),

(5i) pu — p{>=—^ T^ — ^ ^,