CHAPITRE VI. — LA FONCTION ^ U, I

on fait tendre v vers w, après avoir pris les dérivées dans les deux membres par rapport à v^ on obtient

Ce résultat, comparé au précédent (5o), donne cet autre (53) a'( 2 a) = 2 0*1 a (^j a d'à M c'a.

Si l'on remplace o^i u^ (^2^-) ^z^f-j p^u" leurs expressions convenablement choisies, on peut encore écrire

(f^'Xr,\ rrf(^,,\ ^ g'( M — to) g-( U -j- U)^-t- fa>) <y( g — fa>*) (^ U ^

les exponentielles disparaissent quand on prend ainsi les trois demi-périodes, de façon que leur somme soit nulle.

Cette formule de duplication de l'argument dans du peut être aisément généralisée et étendue à la multiplication par un entier quelconque. Dans (5i) faisons v = nu^ nous aurons

r.(«,.\ ^,. o^(/i-M)M d'en — i)m

pi nu) — DM = — ^^ — >

*^^ ' ^ <^*{nu)(^*u

résultat que nous écrirons ainsi

(5.) p(nu)-pu = ^ (^ay--^M> (a-u)<^-0« ["^^T^J '

Si nous le comparons à la formule de mulliplication (IV, i4) (54a) p/i«-p«=-'^""' f"-'

nous ne pouvons manquer d'être frappés de la ressemblance des deux formules : elles coïncident si l'on assimile l'une à l'autre les

deux fonctions

a'(/ia)

^«(w) et

(cj'a)"*

Or les valeurs initiales, pour l'une et l'autre, sont les suivantes (52 et IV, 7) :

Les deux fonctions coïncident donc pour les indices i et 2. Si,

dans les formules (54) et (54«), on suppose n = a, on en conclut que les fonctions coïncident pour l'indice 3 ; en supposant ensuite n = 3, on voit qu'elles coïncident pour l'indice 4t etc.. Donc, généralement,

(f(nu)

(Cw)»'

Supposons d'abord n un nombre impair. Les /i'«"" parties de périodes sont en nombre {n^ — i), distinctes entre elles, à des périodes près. On peut les partager en deux groupes ; chacun des groupes est composé des éléments de l'autre groupe changés de signes. Alors a, ai, ... étant les éléments d'un de ces groupes en nombre ^(/i^ — i), la fonction ^n{^) est un polynôme entier en pity savoir (IV, i3) :

+/i(m) = n{pu--pa){pu-'pai)

ce que nous pouvons écrire, à cause de (5i);

3'(u-ha)a'(u — a) 3'(w -+- ûTi) o'(m — ai) i a'(/ia)

^n{u)-^ n — <f{^a) ^ C5'(— a,) ' " (o'u)'»*-» ~ {Tûj^*

Nous avons donc

<^(u-{-a) <^{u — a) a'(a-f-ai) <^{u — «0

^{nu) = /13'w

(fa a'( — a) 3'(ai) a'(— ai)

Si nous modifions chaque terme r — - en remplaçant b par

b -\- 2C}, ce terme se reproduit multiplié par l'exponentielle e^^«". Si nous choisissons les divers (ô de façon que leur somme soit nulle^ la somme des tj correspondants sera nulle aussi. On peut donc généralement écrire

/ri^x ^/ ^ 0'(w -+- a) 3'(m -+- a,)

a,ai, ... reproduisent, à des périodes près, les /i'^'™<ï» parties de période, en nombre {n^ — i), et sont choisies de façon que leur somme soit nulle.

En second lieu, si n est un nombre pair, ,^ est encore un

polynôme analogue, du degré , en pu. Par les mêmes consi-