CHAPITRE VI. — LA FONCTION S'W. IqS

est réelle et positive. C'esl, au facteur ^co près, di{it). Comme (J*! est une fonction paire, ^\{it) est réelle; de plus positive, car elle l'est pour / = o, et ne s'annule pour aucune valeur réelle de t. En supposant il = w', on voit que ^w" est le produit d'une quantité positive par l'exponentielle e^*^\ Par suite, à un facteur positif

près, le second membre de (45), abstraction faite du facteur y^\ se réduit à une exponentielle dont l'exposant est

nz

D ailleurs TjCo et r/co sont réels, donc e^ est réel et po-

sitif. Le second membre de (45) est donc le produit d'un facteur

«JE positif par ^i et pare * . Il est donc réel et positif si l'on prend

fK

Dans la troisième série, nous aurons de même

(46) vVi— es yet—e^ = i ^ ,

et le signe du second membre est déterminé d'accord avec les for mules précédentes et celles qui donnent les racines carrées. Effectivement, si l'on multiplie membre à membre les relations (44 )• (46) et qu'on divise les deux membres par ceux de la relation (45'>' on obtient

/ -^ 3*0/ -(rjto-f-r/w -Yi-to")

Nous venons justement de prouver qu'on a

\ I il m w ^ t ''^ I l^ ITT , nz

J(T,w-l-y/(o — r/w ) — — T,to H- —- = — 7/0) \ = — r/w ~.

L'exposant de e se trouve ainsi être — r/o), comme il convient. Les relations (41)j (4^), (46) doivent ici être considérées comme nous fournissant l'expression des trois constantes

en fonction de e^ <?2, e^. Dans le Chap. VIII, nous les considérerons d'un point de vue justement opposé.

Ces mêmes relations entraînent une conséquence qu'il faut remarquer. Si l'on considère l'identité

1 e^—ez

et les deux analogues, on conclut

-H 1 ri r =0,

par conséquent,

Les trois formules

v/ei — cj v^ei— 63 =

^^^ \ V^î— ^sV^i — «î = ^ * ^,,^ = Tî7->