IM

! I Ç(«M + i')rfM = — 2tT,'(v -l-a>')-i- (2/11 -f- i)ir ', A > o

\p = a-hta, 2/nto) < a < 2(/n-f- i)to /

L'autre intégrale se déduit aisément de celle-là. Prenons la conjuguée, et mettons en évidence la fonctioi;i Ç au lieu de JJ, avec les constantes qui s'y rapportent, savoir

tu' = t tô, ir^ '= f^y Ç ( w ) = £ Ç ( m ). Nous déduirons ainsi de (5")

^( u-h ^-\- ia)du = 2?j(a -^ w -+- ia) — (im -+- \)ir,.

CnAPITRE VI. — LA FOXCTIOX ^U, 201

Revenant maintenant à !I, échangeant a et a, nous avons la formule

\ I ^(u -i- v) du =^ 2r^(ç -h ui) — (2 m -i- 1 ) £ t: j

v = a-^ix. 2/?i-r<a<a(/?i-f-i)-r

La seule différence qu'il y ait entre ce cas et le précédent provient de la différence entre les expressions (64) et (6 )), obtenues

(Chap. V) pour ^ (a, -7- )• On voit donc immédiatement l'exactitude des résultats suivants :

Jr ' l^{iu -^ v)du — — 2*r/, (t^ -h Wj) -h (4 w -f- Ê)~ v^/ \ ^ } A<o,

v = a-^ ioLy t = --i si (im — i)toj < a <; imw»

e = -f- I si 2 /?i to)j < a < ( a m H- I ) <i)2

Ç(u-+- p)<ia = 2T^i{v -\- toj) — (4/?i -H t)iT,

(60) /ç,^^j-, £=:=! SI (2/n — 1) -7^ < a -^ 2m -4 / A < o.

£ = -+-! SI 2m -7^ < a < (2/71 -^- 1) -f

En comparant les deux déterminations qui s'offrent ici pour

deux radicaux, tels, par exemple, que sjex — e^ et y/ea — ^i, nous voyons qu'elles sont reliées ainsi

Y ' ~" ^' = — e^i'<^-^<<*>' = — e^Q'w-r.w' — £ ; yje^ — e^ = i- / s/e^— e, .

s/et—ez ^ ^^, (o'-r^o)' ^ e^' i^Ati^' = i ; /^ , — e^ ^ \ i \/ e^- e^ . As— e,

Les six radicaux sont ainsi ramenés sans ambiguïté aux trois

premiers ^e, — ^2, ^e^x — ^sy V^^i — ^3» qui sont réels et positifs, dans le cas où le discriminant est positif.

Les racines quatrièmes qui interviennent ici peuvent aussi se ramènera trois d'entre elles. Quel'on en prenne une avec une des deux déterminations qui résultent de la racine carrée correspondante, et l'on pourra préciser les autres. Dans le cas du discriminant positif, par exemple, que l'on prenne y/ei — ^2 positivement, alors

Vei — ^3 est pris positif aussi, et ces deux racines donnent

On a ensuite, dans la seconde série, en remplaçant y/^o — ^1 par^y/ej— ^2,

3 tu

On précise ainsi \je^ — e^ si l'on précise aussi \li\ prenons

S'il en est ainsi, on peut voir que y/e2 — e^ est positif quand le discriminant l'est aussi.

En effet, observons d'abord une circonstance qui s'offre à chaque instant dans les applications, c'est que, t étant réel, la quantité